Число Лефшеца
Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — топологическое пространство, [math]\displaystyle{ f:X\to X }[/math] — непрерывное отображение, [math]\displaystyle{ H_*(X,k) }[/math] — группы гомологий [math]\displaystyle{ X }[/math] с коэффициентами в поле [math]\displaystyle{ k }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ t_n }[/math] — след линейного преобразования
- [math]\displaystyle{ f_*:H_n(X,k)\to H_n(X,k) }[/math]
По определению, число Лефшеца отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] есть
- [math]\displaystyle{ \Lambda(f,X)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt_n }[/math]
Свойства
- Число Лефшеца определено если общий ранг групп [math]\displaystyle{ H_*(X,k) }[/math] конечен, и в этом случае не зависит от выбора [math]\displaystyle{ k }[/math].
- Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике [math]\displaystyle{ X }[/math].
Формула Лефшеца
Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] — связное ориентируемое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное компактное топологическое многообразие или [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный конечный клеточный комплекс, [math]\displaystyle{ f : X \to X }[/math] — непрерывное отображение.
Предположим, что все неподвижные точки отображения [math]\displaystyle{ f : X \to X }[/math] изолированы.
Для каждой неподвижной точки [math]\displaystyle{ x\in X }[/math], обозначим через [math]\displaystyle{ i(x) }[/math] её индекс Кронекера (локальная степень отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] в окрестности точки [math]\displaystyle{ x }[/math]). Тогда формула Лефшеца для [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ f }[/math] имеет вид
- [math]\displaystyle{ \sum_{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda(f,X). }[/math]
- В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю.
История
Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной сферы в себя.