Десятичный логарифм
Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа [math]\displaystyle{ b }[/math] есть решение уравнения [math]\displaystyle{ 10^x=b. }[/math]
Вещественный десятичный логарифм числа [math]\displaystyle{ b }[/math] существует, если [math]\displaystyle{ b\gt 0 }[/math] (комплексный десятичный логарифм существует для всех [math]\displaystyle{ b\ne 0 }[/math]). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его [math]\displaystyle{ \lg\,b }[/math]. Примеры:
- [math]\displaystyle{ \lg\,1=0;\, \lg\,10=1;\, \lg\,100=2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lg\,1000000=6;\, \lg\,0{,}1=-1;\, \lg\,0{,}001=-3 }[/math]
В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: [math]\displaystyle{ \operatorname{log}, \operatorname{Log}, \operatorname{Log10} }[/math], причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму.
Алгебраические свойства
В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[1]:
Формула | Пример | |
---|---|---|
Произведение | [math]\displaystyle{ \lg(x y) = \lg (x) + \lg (y) }[/math] | [math]\displaystyle{ \lg (10000) = \lg(100 \cdot 100) = \lg (100) + \lg (100) = 2 + 2 = 4 }[/math] |
Частное от деления | [math]\displaystyle{ \lg \!\left(\frac x y \right) = \lg (x) - \lg (y) }[/math] | [math]\displaystyle{ \lg \left(\frac{1}{1000}\right) = \lg (1) - \lg (1000) = 0 - 3 = -3 }[/math] |
Степень | [math]\displaystyle{ \lg(x^p) = p \lg (x) }[/math] | [math]\displaystyle{ \lg (10000000) = \lg (10^7) = 7 \lg (10) = 7 }[/math] |
Корень | [math]\displaystyle{ \lg \sqrt[p]{x} = \frac {\lg (x)} p }[/math] | [math]\displaystyle{ \lg \sqrt{1000} = \frac{1}{2}\lg 1000 = \frac{3}{2} = 1{,}5 }[/math] |
Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:
- [math]\displaystyle{ \lg |x y| = \lg (|x|) + \lg (|y|), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \lg \!\left|\frac x y \right| = \lg (|x|) - \lg (|y|), }[/math]
Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:
- [math]\displaystyle{ \lg(x_1 x_2 \dots x_n) = \lg (x_1) + \lg (x_2) + \dots + \lg (x_n) }[/math]
Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел [math]\displaystyle{ x, y }[/math] с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму:
- Найти в таблицах логарифмы чисел [math]\displaystyle{ x, y }[/math].
- Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения [math]\displaystyle{ x \cdot y }[/math].
- По логарифму произведения найти в таблицах само произведение.
Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня.
Связь десятичного и натурального логарифмов[2]:
- [math]\displaystyle{ \ln x \approx 2{,}30259\ \lg x; \quad \lg x \approx 0{,}43429\ \ln x }[/math]
Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример:
- [math]\displaystyle{ \lg\,0{,}012=\lg\,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg\,1{,}2\approx-2+0{,}079181=-1{,}920819 }[/math]
Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху:
- [math]\displaystyle{ \lg\,0{,}012\approx-2+0{,}079181=\bar{2}{,}079181 }[/math]
Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна.
Функция десятичного логарифма
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: [math]\displaystyle{ y = \lg\,x. }[/math] Она определена при всех [math]\displaystyle{ x\gt 0. }[/math] Область значений: [math]\displaystyle{ E(y)=(-\infty; + \infty ) }[/math]. График этой кривой часто называется логарифмикой[3].
Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:
- [math]\displaystyle{ \frac {d} {dx} \lg\, x = \frac {\lg\, e} {x} }[/math]
Ось ординат [math]\displaystyle{ (x=0) }[/math] является вертикальной асимптотой, поскольку:
- [math]\displaystyle{ \lim_{x \to 0+0} \lg\, x = - \infty }[/math]
Применение
Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа [math]\displaystyle{ x }[/math] (характеристику логарифма) [math]\displaystyle{ [\lg x] }[/math] легко определить.
- Если [math]\displaystyle{ x \geqslant 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ [\lg x] }[/math] на 1 меньше числа цифр в целой части числа [math]\displaystyle{ x }[/math]. Например, сразу очевидно, что [math]\displaystyle{ \lg 345 }[/math] находится в промежутке [math]\displaystyle{ (2,3) }[/math].
- Если [math]\displaystyle{ 0\lt x\lt 1 }[/math], то ближайшее к [math]\displaystyle{ \lg x }[/math] целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в [math]\displaystyle{ x }[/math] перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, [math]\displaystyle{ \lg 0{,}0014 }[/math] находится в интервале [math]\displaystyle{ (-3,-2) }[/math].
Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на [math]\displaystyle{ n }[/math] разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на [math]\displaystyle{ n. }[/math] Например:
- [math]\displaystyle{ \lg 8314{,}63 = \lg 8{,}31463 + 3 }[/math]
Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ 10 }[/math][4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров.
Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.
Число | Логарифм | Характеристика | Мантисса | Запись |
---|---|---|---|---|
n | lg(n) | C | M = lg(n) − C | |
5 000 000 | 6.698 970... | 6 | 0.698 970... | 6.698 970... |
50 | 1.698 970... | 1 | 0.698 970... | 1.698 970... |
5 | 0.698 970... | 0 | 0.698 970... | 0.698 970... |
0.5 | −0.301 029... | −1 | 0.698 970... | 1.698 970... |
0.000 005 | −5.301 029... | −6 | 0.698 970... | 6.698 970... |
Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел [math]\displaystyle{ n }[/math] одна и та же мантисса [math]\displaystyle{ M }[/math], поскольку:
- [math]\displaystyle{ \lg(n) = \lg\left(x \times10^C\right) = \lg(x) + \lg\left(10^C\right) = \lg(x) + C }[/math],
где [math]\displaystyle{ 1\lt x\lt 10 }[/math] — значащая часть числа [math]\displaystyle{ n }[/math].
История
Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера)[6].
В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов[8]:
- Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
- Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.
Литература
- Теория логарифмов
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
- История логарифмов
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
- Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
- Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
- Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
- Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.
Ссылки
- Десятичные (бригсовы) логарифмы. (англ.)
Примечания
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187..
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189..
- ↑ Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
- ↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406..
- ↑ История математики, том II, 1970, с. 62..
- ↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66.. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
- ↑ Логарифмические таблицы // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.