Функция Дикмана

График функции Дикмана—де Брёйна ρ(u) на логарифмической шкале. Горизонтальная ось — аргумент u, а вертикальная — значение функции. График выглядит на логарифмической шкале почти как прямая, что показывает квазилинейность логарифма функции.

В аналитической теории чисел функцией Дикмана (другое название — функция Дикмана — де Брёйна) ρ называется специальная функция, используемая для оценки числа гладких чисел для заданной границы. Впервые функция появилась у Карла Дикмана, в его единственной статье, посвященной математике. Позже функция была изучена датским математиком Николасом де Брёйном.

Определение

Функция Дикмана — де Брёйна [math]\displaystyle{ \rho(u) }[/math] — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом

[math]\displaystyle{ u\rho'(u) + \rho(u-1) = 0 }[/math]

с начальными условиями [math]\displaystyle{ \rho(u) = 1 }[/math] для 0 ≤ u ≤ 1.

Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что

[math]\displaystyle{ \Psi(x, x^{1/a})\sim x\rho(a) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Psi(x,y) }[/math] — число y-гладких целых, меньших  x.

В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что

[math]\displaystyle{ \Psi(x,x^{1/a})=x\rho(a)+O(x/\log x) }[/math]

в нотации О большое.

Приложения

Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.

Используя [math]\displaystyle{ \log\rho }[/math], можно показать, что

[math]\displaystyle{ \Psi(x,y)=xu^{O(-u)} }[/math],

что связано с оценкой [math]\displaystyle{ \rho(u)\approx u^{-u} }[/math], приведенной ниже.

Постоянная Голомба — Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана — де Брёйна.

Оценка

Простым приближением может служить [math]\displaystyle{ \rho(u)\approx u^{-u}. }[/math] Лучшую оценку даёт

[math]\displaystyle{ \rho(u)\sim\frac{1}{\xi\sqrt{2\pi u}}\cdot\exp(-u\xi+\operatorname{Ei}(\xi)) }[/math],

где Ei — интегральная показательная функция, а ξ — положительный корень уравнения

[math]\displaystyle{ e^\xi-1=u\xi. }[/math]

Простую верхнюю оценку дает [math]\displaystyle{ \rho(x)\le1/x!. }[/math]

[math]\displaystyle{ u }[/math]	[math]\displaystyle{ \rho(u) }[/math]
1	1
2	3.0685282⋅10-1
3	4.8608388⋅10-2
4	4.9109256⋅10-3
5	3.5472470⋅10-4
6	1.9649696⋅10-5
7	8.7456700⋅10-7
8	3.2320693⋅10-8
9	1.0162483⋅10-9
10	2.7701718⋅10-11

Вычисление

Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция [math]\displaystyle{ \rho_n }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ \rho_n(u)=\rho(u) }[/math]. Для 0 ≤ u ≤ 1, [math]\displaystyle{ \rho(u) = 1 }[/math]. Для 1 ≤ u ≤ 2, [math]\displaystyle{ \rho(u) = 1-\log u }[/math]. Для 2 ≤ u ≤ 3,

[math]\displaystyle{ \rho(u) = 1-(1-\log(u-1))\log(u) + \operatorname{Li}_2(1 - u) + \frac{\pi^2}{12} }[/math],

где Li₂ — дилогарифм. Остальные [math]\displaystyle{ \rho_n }[/math] могут быть вычислены, используя бесконечные ряды.

Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций.

Расширение

Бах и Перальта определили двумерный аналог [math]\displaystyle{ \sigma(u,v) }[/math] функции [math]\displaystyle{ \rho(u) }[/math]. Эта функция используется для оценки функции [math]\displaystyle{ \Psi(x,y,z) }[/math], аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда

[math]\displaystyle{ \Psi(x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma(b,a). }[/math]

Внешние ссылки

• Broadhurst, David (2010), Dickman polylogarithms and their constants, arΧiv:1004.0519. 
• Soundararajan, K. (2010), An asymptotic expansion related to the Dickman function, arΧiv:1005.3494. 
• Weisstein, Eric W. Dickman function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.