Формализм Джонса
Формализм Джонса — математический аппарат для анализа поляризации световой волны, в котором поляризация задается так называемыми векторами Джонса, а линейные оптические элементы — матрицами Джонса[1]. Формализм предложил 1941 Роберт Кларк Джонс. Формализм Джонса применим для полностью поляризованного света, для неполяризованного или частично поляризованного света нужно использовать формализм Мюллера.
Вектор Джонса
Вектор Джонса описывает поляризацию света в пустоте или другой однородной изотропной среде при отсутствии поглощения, там где свет можно описать поперечной электромагнитной волной. Пусть плоская волна распространяется в положительном направлении вдоль оси z и имеет циклическую частоту ω и волновой вектор k = (0,0,k), где волновое число k = ω/c. Тогда электрическое и магнитное поля (E и H) ортогональных к k в каждой точке; то есть лежат в плоскости, поперечной относительно направления движения. Более того, H определяется с E поворотом на 90 градусов и умножением на определённый коэффициент, зависящий от системы единиц и волнового импеданса среды. Поэтому при изучении поляризации достаточно сосредоточиться на E. Комплексная амплитуда E записывается
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} E_x(t) \\ E_y(t) \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i(kz- \omega t+\phi_x)} \\ E_{0y} e^{i(kz- \omega t+\phi_y)} \\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \\ 0\end{pmatrix}e^{i(kz- \omega t)} }[/math].
Физическое значение E определяется действительной частью этого вектора, а комплексный множитель описывает фазу волны.
Тогда вектор Джонса определяется как:
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} E_{0x} e^{i\phi_x} \\ E_{0y} e^{i\phi_y} \end{pmatrix}\;. }[/math]
Итак вектор Джонса сохраняет информацию об амплитуде и фазе x и y компонент поля.
Сумма квадратов абсолютных значений двух компонент вектора Джонса пропорциональна интенсивности света. Обычно её нормируют на единицу в той точке, откуда начинается расчёт. Обычно также предполагается, что первая компонента вектора Джонса является действительным числом. В этом случае отбрасывается информация о совместной фазе, которая, впрочем, необходима для расчёта интерференции с другими пучками.
Векторы и матрицы Джонса обозначаются так, что фаза волны задается [math]\displaystyle{ \phi = kz - \omega t }[/math]. При таком определении увеличению [math]\displaystyle{ \phi_x }[/math] (или [math]\displaystyle{ \phi_y }[/math]) соответствует отставание по фазе, а уменьшению — опережение. Например, компонента вектора Джонса [math]\displaystyle{ i }[/math] ([math]\displaystyle{ =e^{i\pi/2} }[/math]) указывает на отставание на [math]\displaystyle{ \pi/2 }[/math] (или 90 градусов) по сравнению с 1. Применяется и другая конвенция ([math]\displaystyle{ \phi = \omega t - kz }[/math]), поэтому читателю следует быть внимательным.
Следующая таблица содержит 6 популярных примеров вектора Джонса:
| Поляризация света | Вектор Джонса | Типовое кет-обозначение |
| Линейно поляризованный по x привычное название — горизонтальная |
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ |H\rangle }[/math] |
| Линейно поляризованный по y привычное название — вертикальная |
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ |V\rangle }[/math] |
| Линейно поляризованный под углом 45° к оси x привычное название — диагональная L+45 |
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ |D\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle + |V\rangle ) }[/math] |
| Линейно поляризованный под углом −45° к оси x привычное название — антидиагональная L-45 |
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ |A\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle - |V\rangle ) }[/math] |
| Круговая поляризация против часовой стрелки привычное название — RCP или RHCP |
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ | R\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle - i |V\rangle ) }[/math] |
| Круговая поляризация по часовой стрелке привычное название — LCP или LHCP |
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 \\ +i \end{pmatrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ |L\rangle = \frac{1}{\sqrt2} ( |H\rangle + i |V\rangle ) }[/math] |
В общем случае любой вектор можно записать в кет-нотации как [math]\displaystyle{ |\psi\rangle }[/math]. Применяя сферу Пуанкаре (известную также как сфера Блоха), базовые кет-векторы ([math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math] и [math]\displaystyle{ |1\rangle }[/math]) должны обозначать противоположные кет-векторы из перечисленных пар. Например, можно обозначить [math]\displaystyle{ |0\rangle }[/math] = [math]\displaystyle{ |H\rangle }[/math] и [math]\displaystyle{ |1\rangle }[/math] = [math]\displaystyle{ |V\rangle }[/math]. Выбор здесь произвольный. Противоположные пары:
- [math]\displaystyle{ |H\rangle }[/math] та [math]\displaystyle{ |V\rangle }[/math]
- [math]\displaystyle{ |D\rangle }[/math] та [math]\displaystyle{ |A\rangle }[/math]
- [math]\displaystyle{ |R\rangle }[/math] та [math]\displaystyle{ |L\rangle }[/math]
Любую поляризацию, не совпадающую с [math]\displaystyle{ |R\rangle }[/math] или [math]\displaystyle{ |L\rangle }[/math] и не принадлежащую кругу, проходящему через [math]\displaystyle{ |H\rangle, |D\rangle, |V\rangle, |A\rangle }[/math], называют эллиптической.
Матрицы Джонса
Матрицами Джонса называют операторы, действующие на векторы Джонса. Их определяют для различных оптических элементов: линз, делителей пучков, зеркал и так далее. Каждая матрица является проекцией на одномерное комплексное пространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:
| Оптический элемент | Матрица Джонса |
| Линейный [[]]поляризатор с горизонтальной осью пропускания[1] |
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }[/math] |
| Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания[1] |
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math] |
| Линейный поляризатор с осью пропускания под углом ±45° к горизонтальной[1] |
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & \pm 1 \\ \pm 1 & 1 \end{pmatrix} }[/math] |
| Правозакрученный круговой поляризатор[1] |
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} }[/math] |
| Левозакрученный круговой поляризатор[1] |
[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix} }[/math] |
Манипулирование фазой
Фазовые преобразователи вносят изменение в разность фаз между вертикальной и горизонтальной поляризациями, управляя так поляризацией пучка. Обычно их изготавливают из одноосных кристаллов с двойным лучепреломлением, таких как кальцит, MgF 2 или кварц . Одноосные кристаллы имеют одну из кристаллических осей, отличную от двух других (то есть, ni ≠ nj = nk). Эту ось называют необычным или оптической. Оптическая ось может быть быстрой или медленной, в зависимости от кристалла. Свет распространяется с высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления, и эту ось называют быстрой. Аналогично, ось с наибольшим показателем преломления называется медленной. "Негативные" одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO 3, сапфир Al2O3) имеют ne <no, поэтому для этих кристаллов необычная (оптическое) ось является быстрой, тогда как "положительные" одноосные кристаллы (например, кварц SiO2, фторид магния MgF2, рутил TiO2) имеют ne>no, и необычная ось у них медленная.
Преобразователь фазы с быстрой осью, совпадающей с осями x или y, имеет нулевые недиагональные члены, а потому его можно отобразить матрицей
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} e^{i\phi_x} & 0 \\ 0 & e^{i\phi_y} \end{pmatrix} }[/math]
где [math]\displaystyle{ \phi_x }[/math] и [math]\displaystyle{ \phi_y }[/math] — фазы электрического поля в направлениях x и y, соответственно. В этих обозначениях [math]\displaystyle{ \phi = kz - \omega t }[/math] задает относительную фазу между двумя волнами как [math]\displaystyle{ \epsilon = \phi_y - \phi_x }[/math]. Тогда положительное значение [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ \phi_y }[/math] > [math]\displaystyle{ \phi_x }[/math]) означает, что [math]\displaystyle{ E_y }[/math] не будет иметь то же значение, что [math]\displaystyle{ E_x }[/math] еще некоторое время, то есть [math]\displaystyle{ E_x }[/math] впереди [math]\displaystyle{ E_y }[/math]. Аналогично, если [math]\displaystyle{ \epsilon \lt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ E_y }[/math] опережает [math]\displaystyle{ E_x }[/math]. Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальная, то фазовая скорость горизонтальной поляризации будет опережать фазовую скорость вертикальной поляризации, то есть [math]\displaystyle{ E_x }[/math] впереди [math]\displaystyle{ E_y }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \phi_x \lt \phi_y }[/math], что для четвертьволнового пластинки дает [math]\displaystyle{ \phi_y = \phi_x + \pi/2 }[/math].
Альтернативное обозначение для фазы:: [math]\displaystyle{ \phi = \omega t - kz }[/math], определяет относительную фазу как [math]\displaystyle{ \epsilon = \phi_x - \phi_y }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \epsilon\gt 0 }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ E_y }[/math] еще некоторое время не будет того же значения, [math]\displaystyle{ E_x }[/math], тогда [math]\displaystyle{ E_x }[/math] опережает [math]\displaystyle{ E_y }[/math].
| Элемент | Матрица Джонса |
|---|---|
| Четвертьволновая пластинка с вертикальной быстрой осью [2] [3] | [math]\displaystyle{ e^{i \pi/4} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} }[/math] |
| Четвертьволновая пластинка с горизонтальной быстрой осью | [math]\displaystyle{ e^{i \pi/4} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} }[/math] |
| Четвертьволновая пластинка с быстрой осью под углом [math]\displaystyle{ \theta }[/math] к горизонтальной оси | [math]\displaystyle{ e^{-i \pi/4} \begin{pmatrix} \cos^2\theta+ i\sin^2\theta & (1-i) \sin\theta \cos\theta \\ (1-i) \sin\theta \cos\theta & \sin^2\theta+i \cos^2\theta \end{pmatrix} }[/math] |
| Полуволновая пластинка с быстрой осью под углом [math]\displaystyle{ \theta }[/math] к горизонтальной оси [4] | [math]\displaystyle{ e^{-i \pi/2} \begin{pmatrix} \cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{pmatrix} }[/math] |
| Произвольный материал с двойным преломлением (как фазовый преобразователь) [5] | [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} e^{i\eta/2} \cos^2\theta+e^{-i\eta/2} \sin^2\theta & (e^{i\eta/2}-e^{-i\eta/2}) e^{-i\phi} \cos\theta \sin\theta \\ (e^{i\eta/2}-e^{-i\eta/2}) e^{i\phi} \cos\theta \sin\theta & e^{i\eta/2} \sin^2\theta+e^{-i\eta/2} \cos^2\theta \end{pmatrix} }[/math] |
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Fowles, G. Introduction to Modern Optics (неопр.). — 2nd. — Dover, 1989. — С. 35.
- ↑ 2,0 2,1 Hecht, E. Optics (неопр.). — 4th. — 2001. — С. 378. — ISBN 0805385665.
- ↑ Множитель [math]\displaystyle{ e^{i\pi/4} }[/math] появляется только тогда, когда фазы заданы симметрично, то есть [math]\displaystyle{ \phi_x = -\phi_y = \pi/4 }[/math]. Такое определение использует книга [2], но не книга [1].
- ↑ Gerald, A. Introduction to Matrix Methods in Optics (неопр.). — 1st. — 1975. — ISBN 0471296856.
- ↑ Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).