Фильтр (математика)

Фильтр — подмножество частично упорядоченного множества, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году и впоследствии использованы Никола Бурбаки в их книге Topologie Générale как альтернатива аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество [math]\displaystyle{ F }[/math] полурешётки [math]\displaystyle{ L }[/math] называется фильтром, если

• для всех [math]\displaystyle{ a,b \in F }[/math], [math]\displaystyle{ a \land b \in F }[/math]
• для всех [math]\displaystyle{ a \in F }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ a \leq b }[/math], [math]\displaystyle{ b \in F }[/math]

Фильтр называется собственным, если [math]\displaystyle{ F \neq L }[/math].

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр [math]\displaystyle{ F }[/math] решётки называется простым, если в нём для всех [math]\displaystyle{ a,b \in L }[/math] из того, что [math]\displaystyle{ a \lor b \in F }[/math], следует, что либо [math]\displaystyle{ a \in F }[/math], либо [math]\displaystyle{ b \in F }[/math].

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент [math]\displaystyle{ x }[/math], называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом [math]\displaystyle{ x }[/math].

Если [math]\displaystyle{ F }[/math] фильтр, то [math]\displaystyle{ L \backslash F }[/math] является идеалом.

Фильтр на булевой алгебре

Фильтром на булевой алгебре [math]\displaystyle{ M }[/math] называется подмножество [math]\displaystyle{ D \subseteq M }[/math], для которого выполняются условия:

• [math]\displaystyle{ D \neq \varnothing }[/math],
• [math]\displaystyle{ x, y \in D \Rightarrow ( x \cap y ) \in D }[/math],
• [math]\displaystyle{ x \in D, x \leqslant y \Rightarrow y \in D }[/math],
• [math]\displaystyle{ x \in D \Rightarrow \bar{x} \notin D }[/math].

Фильтр [math]\displaystyle{ D }[/math] на булевой алгебре [math]\displaystyle{ M }[/math] называется ультрафильтром, если выполняется условие:

• [math]\displaystyle{ \forall x \in M: x \in D \vee \bar{x} \in D }[/math].

Фильтр [math]\displaystyle{ D }[/math] на булевой алгебре [math]\displaystyle{ M }[/math] называется простым, если он удовлетворяет условию:

• [math]\displaystyle{ \forall x, y \in M: (x \cup y ) \in D \Rightarrow x \in D \vee y \in D }[/math].

Фильтр [math]\displaystyle{ D }[/math] на булевой алгебре [math]\displaystyle{ M }[/math] называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на [math]\displaystyle{ M }[/math].

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества [math]\displaystyle{ X }[/math] можно определить решётку его подмножеств [math]\displaystyle{ (\mathcal P(X),\subseteq) }[/math]. Тогда фильтр [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math] определяется как подмножество [math]\displaystyle{ \mathcal P(X) }[/math], удовлетворяющее следующим условиям:

• [math]\displaystyle{ \mathfrak F \neq \varnothing }[/math]
• [math]\displaystyle{ \varnothing \notin\mathfrak F }[/math]
• пересечение любых двух элементов [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] лежит в [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math]
• надмножество любого элемента [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] лежит в [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math]

Фильтр вида [math]\displaystyle{ \mathfrak F_Z=\{Y \in\mathcal P(X) \mid Z \subseteq Y\} }[/math] называется фильтром, порожденным множеством [math]\displaystyle{ Z }[/math]. Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] — фильтр на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math]. Семейство подмножеств [math]\displaystyle{ \mathfrak B\subset\mathfrak F }[/math] называется базой (базисом) фильтра [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math], если любой элемент фильтра [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] содержит некоторый элемент базы [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math], то есть для любого [math]\displaystyle{ Y\in\mathfrak F }[/math] существует [math]\displaystyle{ B\in\mathfrak B }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ B\subset Y }[/math]. При этом фильтр [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math]. В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math] порождает фильтр [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math]

Для того, чтобы семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak B=\{B\} }[/math] подмножеств множества [math]\displaystyle{ X }[/math] являлось базой некоторого фильтра на [math]\displaystyle{ X }[/math] необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

• [math]\displaystyle{ \mathfrak B\neq\varnothing }[/math];
• [math]\displaystyle{ \varnothing\not\in\mathfrak B }[/math];
• для любых [math]\displaystyle{ A,B\in\mathfrak B }[/math] существует [math]\displaystyle{ C\in\mathfrak B }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ A\cap B\supset C }[/math].

Две базы [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathfrak B' }[/math] называются эквивалентными, если любой элемент [math]\displaystyle{ B\in\mathfrak B }[/math] содержит в себе некоторый элемент [math]\displaystyle{ B'\in\mathfrak B' }[/math], и наоборот, любой элемент [math]\displaystyle{ B'\in\mathfrak B' }[/math] содержит в себе некоторый элемент [math]\displaystyle{ B\in\mathfrak B }[/math].

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math] существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math]. Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] заданы два фильтра [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathfrak F' }[/math]. Говорят, что фильтр [math]\displaystyle{ \mathfrak F' }[/math] мажорирует фильтр [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] ([math]\displaystyle{ \mathfrak F' }[/math] сильнее [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math], [math]\displaystyle{ \mathfrak F' }[/math] тоньше [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math]), если [math]\displaystyle{ \mathfrak F'\supset\mathfrak F }[/math]. В этом случае также говорят, что фильтр [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] мажорируется фильтром [math]\displaystyle{ \mathfrak F' }[/math] ([math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] слабее [math]\displaystyle{ \mathfrak F' }[/math], [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] грубее [math]\displaystyle{ \mathfrak F' }[/math]).

Говорят, что база [math]\displaystyle{ \mathfrak B' }[/math] сильнее базы [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math], и записывают [math]\displaystyle{ \mathfrak B'\geqslant \mathfrak B }[/math], если любой элемент [math]\displaystyle{ B\in\mathfrak B }[/math] содержит в себе некоторый элемент [math]\displaystyle{ B'\in\mathfrak B' }[/math]. База [math]\displaystyle{ \mathfrak B' }[/math] сильнее базы [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math] тогда и только тогда, когда фильтр [math]\displaystyle{ \mathfrak F' }[/math], порожденный базой [math]\displaystyle{ \mathfrak B' }[/math], сильнее фильтра [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math], порожденного базой [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math].

Базы [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathfrak B' }[/math] эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно [math]\displaystyle{ \mathfrak B'\geqslant \mathfrak B }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathfrak B\geqslant \mathfrak B' }[/math].

Фильтры в топологических пространствах

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal T) }[/math] — топологическое пространство и [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math] — фильтр на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math]. Точка [math]\displaystyle{ a\in X }[/math] называется пределом фильтра [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math], если любая окрестность [math]\displaystyle{ V(a) }[/math] точки [math]\displaystyle{ a }[/math] принадлежит фильтру [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math]. Обозначение: [math]\displaystyle{ a \in \lim\mathfrak F }[/math]. Если [math]\displaystyle{ a }[/math] является единственным пределом фильтра, то также пишут [math]\displaystyle{ a=\lim\mathfrak F }[/math].

Для фильтра [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math], порожденного базой [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math], точка [math]\displaystyle{ a }[/math] является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность [math]\displaystyle{ V(a) }[/math] целиком содержит некоторое множество из [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math].

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка [math]\displaystyle{ a\in X }[/math] называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math], если [math]\displaystyle{ a }[/math] принадлежит замыканию любого множества из [math]\displaystyle{ \mathfrak F }[/math], то есть [math]\displaystyle{ a\in\overline Y }[/math] для всех [math]\displaystyle{ Y\in\mathfrak F }[/math]. Равносильно, для любой окрестности [math]\displaystyle{ V(a) }[/math] точки [math]\displaystyle{ a }[/math] и для любого [math]\displaystyle{ Y\in\mathfrak F }[/math] выполнено [math]\displaystyle{ V(a)\cap Y\neq\varnothing }[/math]. Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

• Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
• Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется конечным фильтром или фильтром Фреше.
• Если [math]\displaystyle{ X }[/math] — бесконечное множество мощности [math]\displaystyle{ \mathfrak m }[/math], то множество дополнений множеств мощности [math]\displaystyle{ \lt \mathfrak m }[/math] тоже является фильтром.

См. также

• Предел функции вдоль фильтра
• Ультрафильтр
• Чехстоунова компактификация

Литература

• Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — 336 с.
• Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Наука, 1975. — 240 с.