Ультрафильтр

Тёмно-зелёным отмечен фильтр, не являющийся ультрафильтром. При добавлении к нему светло-зеленых элементов образуется ультрафильтр.

Ультрафильтр на решётке [math]\displaystyle{ F }[/math] — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение

Собственный фильтр [math]\displaystyle{ F }[/math] на решётке [math]\displaystyle{ L }[/math] является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от [math]\displaystyle{ F }[/math]) фильтре.

Набор [math]\displaystyle{ F }[/math] подмножеств множества [math]\displaystyle{ X }[/math] называется ультрафильтром на [math]\displaystyle{ X }[/math], если

• [math]\displaystyle{ \varnothing\notin F }[/math]
• для любых двух элементов [math]\displaystyle{ F }[/math], их пересечение также лежит в [math]\displaystyle{ F }[/math]
• для любого элемента [math]\displaystyle{ F }[/math], все его надмножества лежат в [math]\displaystyle{ F }[/math]
• для любого подмножества [math]\displaystyle{ Y \subseteq X }[/math] либо [math]\displaystyle{ Y \in F }[/math], либо [math]\displaystyle{ X \backslash Y \in F }[/math]

Замечания

• [math]\displaystyle{ F }[/math] является ультрафильтром если функция на множествах [math]\displaystyle{ S\subset X }[/math], заданная как [math]\displaystyle{ \omega_F(S)=1 }[/math], если [math]\displaystyle{ S\in F }[/math], и [math]\displaystyle{ \omega_F(S)=0 }[/math] в противном случае, то [math]\displaystyle{ \omega_F }[/math] является конечно-аддитивной вероятностной мерой на [math]\displaystyle{ X }[/math].

Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка [math]\displaystyle{ L }[/math] является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр [math]\displaystyle{ F }[/math] является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента [math]\displaystyle{ x \in L }[/math] либо [math]\displaystyle{ x \in F }[/math], либо [math]\displaystyle{ -x \in F }[/math]

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

• Минимальный фильтр, содержащий данный элемент [math]\displaystyle{ x }[/math], называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом [math]\displaystyle{ x }[/math].
  • Любой главный фильтр является ультрафильтром
  • Основные приложения имеют неглавные ультрафильтры.
• подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории [math]\displaystyle{ T }[/math], состоящее из теорем [math]\displaystyle{ T }[/math]

Свойства

• ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
• любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
• если [math]\displaystyle{ F }[/math] — главный ультрафильтр на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math], то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
• если [math]\displaystyle{ F }[/math] — неглавный ультрафильтр на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math], то пересечение всех его элементов пусто.
• Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
  • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
  • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
  • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
• Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств [math]\displaystyle{ X }[/math] наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров [math]\displaystyle{ G }[/math] можно взять множества [math]\displaystyle{ D_a=\{U\in G|a\in U\} }[/math] для всевозможных [math]\displaystyle{ a\in P(X). }[/math]

Приложения

• Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
• Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
• Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу.
• Ультрафильтры используются в комбинаторике, например в теории Рамсея.