Трилинейная система координат

Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если [math]\displaystyle{ (\alpha:\beta:\gamma) }[/math] — барицентрические координаты точки [math]\displaystyle{ X }[/math] относительно треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], а [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] — длины его сторон, то

[math]\displaystyle{ (x:y:z)=\left(\frac{\alpha}{a}:\frac{\beta}{b}:\frac{\gamma}{c}\right) }[/math]

её трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.

Для точки [math]\displaystyle{ X }[/math], лежащей внутри треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников [math]\displaystyle{ (S_{BCX}:S_{CAX}:S_{ABX}) }[/math]. Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки [math]\displaystyle{ X }[/math] до сторон треугольника — абсолютные трилинейные координаты. Если точка [math]\displaystyle{ X }[/math] лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учётом знака. Например, если точки [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ A }[/math] лежат по одну сторону от прямой [math]\displaystyle{ BC }[/math], то [math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math], а если по разные, то [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math].

В трилинейных координатах изогональное сопряжение задаётся формулой [math]\displaystyle{ (x:y:z)\mapsto(x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}) }[/math]. В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.