Координаты Борна

Координаты Борна в специальной теории относительности — система координат, применяемая для описания вращающейся окружности или (в более общем смысле) диска.

Вращение окружности в специальной теории относительности

В неподвижной системе отсчёта окружность описывается двумя координатами [math]\displaystyle{ (T,\,\Phi) }[/math], в которых метрика имеет вид:

[math]\displaystyle{ ds^2 = dT^2 - R^2\,d\Phi^2 }[/math]

([math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус окружности, скорость света полагается равной единице).

Вращение окружности описывается формулой

[math]\displaystyle{ \Phi = \varphi + \omega T }[/math],

где [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] — угловая координата в пространстве, [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — положение точки на окружности, [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — круговая частота, а T — время неподвижной системы отсчёта.

Если мы рассмотрим одну точку окружности (то есть зафиксируем [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]), то её мировая линия будут представлять собой винтовую линию. Собственное время точек окружности определяется как

[math]\displaystyle{ \sqrt{1 - \omega^2 R^2}\ T. }[/math]

Координатами Борна на окружности называется система координат [math]\displaystyle{ (T,\;\varphi) }[/math]. Эти две координаты не являются ортогональными.

Метрика будет выглядеть как

[math]\displaystyle{ ds^2 = \left( 1- \omega^2 \, R^2 \right) \, dT^2 - 2 \, \omega \, R^2 \, dT \, d\varphi - R^2 \, d\varphi^2. }[/math]

Вращение диска в специальной теории относительности

Пространственно-временная геометрия координат Борна на диске. Красные кривые — мировые линии точек диска (фиксированы [math]\displaystyle{ \scriptstyle {r,\;\varphi} }[/math]). Чередующиеся синие и серые полосы показывают изменение [math]\displaystyle{ \scriptstyle T }[/math]. Оранжевые кривые (/ \) — светоподобные кривые с постоянным [math]\displaystyle{ \scriptstyle r }[/math]. Внизу справа — трёхмерное изображение. Сверху — развёртки цилиндров для трёх разных [math]\displaystyle{ \scriptstyle r }[/math], повёрнутые так, чтобы направление собственного времени стало вертикальным.

Основная статья: Парадокс Эренфеста

Если рассмотреть равномерно вращающийся, как единое целое, диск (то есть круг), то добавляется третья координата: [math]\displaystyle{ r }[/math].

При этом [math]\displaystyle{ \omega }[/math] по-прежнему постоянно.

В таком случае множители будут зависеть от радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math].

Метрика будет выглядеть как

[math]\displaystyle{ ds^2 = \left( 1- \omega^2 \, r^2 \right) \, dT^2 - 2 \, \omega \, r^2 \, dT \, d\varphi - dr^2 - r^2 \, d\varphi^2. }[/math]

На рисунке видно, как с возрастанием [math]\displaystyle{ r }[/math] и приближением линейной скорости вращения к световой система из двух координат [math]\displaystyle{ (T,\;\varphi) }[/math] становятся всё менее похожа на ортогональную.

Скорость света относительно «времени» [math]\displaystyle{ T }[/math] по ходу вращения уменьшается, а против вращения — возрастает.

Разумеется, радиус диска не может превосходить [math]\displaystyle{ \frac c\omega }[/math], поскольку на этом удалении от оси вращения наша вращающаяся система отсчёта разгоняется до световой скорости.

Определение расстояний и времён

Проблемы с вращающимися координатами

Вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и вызывает много проблем даже при поверхностном рассмотрении.

Как было показано, две координаты [math]\displaystyle{ (T,\;\varphi) }[/math] не ортогональны даже на одной окружности, причём это неустранимый недостаток — если мы синхронизуем время сразу по всей окружности с помощью скорости света, то система отсчёта не будет вращаться, а если отказаться от [math]\displaystyle{ T }[/math], синхронизуя время лишь на куске окружности, то единая временная координата «не склеится». На диске дело обстоит ещё хуже — часы не синхронизуются даже локально (см. эффект Саньяка).

К тому же, при исчислении собственного времени координату [math]\displaystyle{ T }[/math] приходится умножать на коэффициент уже не постоянный (как на окружности), а переменный, зависящий от [math]\displaystyle{ r }[/math]. Диск, оставаясь твёрдым, имеет разную скорость течения времени в зависимости от расстояния до оси вращения.

Из-за проблем со временем не совсем понятно как определять расстояние — некоторые определения не приводят к симметричной функции расстояния между двумя точками диска. А не зная расстояний, мы не можем проверить, что диск вращается как твёрдое тело.

Метрика Ланжевена — Ландау — Лифшица

Тем не менее, оказывается возможным корректно определить расстояние на вращающемся диске в смысле римановой метрики.

То есть, естественная геометрия вращающегося диска не является евклидовой.

См. также

• Координаты Риндлера

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 4-е, исправленное и дополненное. — М.: Физматгиз, 1962. — 424 с. — («Теоретическая физика», том II).