Гиперболическая система координат

Гиперболическая система координат евклидовой плоскости. Все точки, принадлежащие одному и тому же синему лучу, имеют одинаковую координату u. Все точки, принадлежащие одной и той же красной гиперболе, имеют одинаковую координату v

Гиперболическая система координат в математике — система координат, позволяющая задать положение точек в первом квадранте Q декартовой плоскости.

[math]\displaystyle{ \{(x, y) \ :\ x \gt 0,\ y \gt 0\ \} = Q\ \! }[/math].

Значения гиперболических координат принадлежат гиперболической плоскости, которая определяется так:

[math]\displaystyle{ HP = \{(u, v) : u \in \mathbb{R}, v \gt 0 \} }[/math].

Данная система удобна для сравнения прямых пропорций из Q в логарифмической шкале и оценки отклонений от прямой пропорции.

Для [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] в [math]\displaystyle{ Q }[/math] примем

[math]\displaystyle{ u = \ln \sqrt{\frac{x}{y}} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ v = \sqrt{xy} }[/math].

Параметр u представляет собой гиперболический угол к (x, y), в то время как v — среднее геометрическое x и y.

Обратное отображение:

[math]\displaystyle{ x = v e^u ,\quad y = v e^{-u} }[/math].

Функция [math]\displaystyle{ Q \rarr HP }[/math] непрерывна, но не является аналитической

Литература

• David Betounes (2001) Differential Equations: Theory and Applications, page 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7
• Scott Walter (1999). "The non-Euclidean style of Minkowskian relativity". Chapter 4 in: Jeremy J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930, pp. 91–127. Oxford University Press. ISBN 0-19-850088-2