Перейти к содержанию

Законы Кеплера

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Третий закон Кеплера»)

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге[1]. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609[2] и 1619[3] годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.

Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе [math]\displaystyle{ m_p/m_s \rightarrow 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ m_p }[/math], [math]\displaystyle{ m_s }[/math] — массы планеты и звезды соответственно.

Формулировки

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Первый закон Кеплера

Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением [math]\displaystyle{ e=\frac{c}{a} }[/math], где [math]\displaystyle{ c }[/math] — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), [math]\displaystyle{ {a} }[/math] — большая полуось. Величина [math]\displaystyle{ e }[/math] называется эксцентриситетом эллипса. При [math]\displaystyle{ c=0 }[/math], и, следовательно, [math]\displaystyle{ e=0, }[/math] эллипс превращается в окружность.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

[math]\displaystyle{ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} }[/math],

[math]\displaystyle{ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3 }[/math]

Третий закон Кеплера

где [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:

[math]\displaystyle{ \frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3} }[/math],

где [math]\displaystyle{ M }[/math] — масса Солнца, а [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m_2 }[/math] — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Вывод законов Кеплера из законов классической механики