Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге[1]. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609[2] и 1619[3] годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.
Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе [math]\displaystyle{ m_p/m_s \rightarrow 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ m_p }[/math], [math]\displaystyle{ m_s }[/math] — массы планеты и звезды соответственно.
Формулировки
Первый закон Кеплера (закон эллипсов)
Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением [math]\displaystyle{ e=\frac{c}{a} }[/math], где [math]\displaystyle{ c }[/math] — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), [math]\displaystyle{ {a} }[/math] — большая полуось. Величина [math]\displaystyle{ e }[/math] называется эксцентриситетом эллипса. При [math]\displaystyle{ c=0 }[/math], и, следовательно, [math]\displaystyle{ e=0, }[/math] эллипс превращается в окружность.
Второй закон Кеплера (закон площадей)
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Третий закон Кеплера (гармонический закон)
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.
- [math]\displaystyle{ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} }[/math],
[math]\displaystyle{ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3 }[/math]

где [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а [math]\displaystyle{ a_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ a_2 }[/math] — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:
- [math]\displaystyle{ \frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3} }[/math],
где [math]\displaystyle{ M }[/math] — масса Солнца, а [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ m_2 }[/math] — массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Вывод законов Кеплера из законов классической механики
Вывод Первого закона Кеплера
Рассмотрим движение в полярных координатах [math]\displaystyle{ (r,\theta) }[/math], центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).
Пусть [math]\displaystyle{ \mathbf r }[/math] — радиус-вектор к планете, за [math]\displaystyle{ \hat\mathbf r = \mathbf r/r }[/math] обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём [math]\displaystyle{ \hat\boldsymbol\theta }[/math] — единичный вектор, перпендикулярный [math]\displaystyle{ \mathbf r }[/math], направленный в сторону увеличения полярного угла [math]\displaystyle{ \theta }[/math]. Запишем производные по времени, обозначая их точками:
- [math]\displaystyle{ \dot\mathbf r=\dot r\hat\mathbf r + r\dot\theta\hat\boldsymbol\theta }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ddot\mathbf r = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta} }[/math]
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:
- [math]\displaystyle{ \mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}. }[/math]
Или в координатной форме:
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} \ddot r - r\dot\theta^2 = f(r),\\ r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0; \end{cases} }[/math]
Во втором уравнении распишем [math]\displaystyle{ \ddot\theta }[/math] и [math]\displaystyle{ \dot r }[/math]:
- [math]\displaystyle{ r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0, }[/math]
Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:
- [math]\displaystyle{ \frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}. }[/math]
Интегрирование которого даст:
- [math]\displaystyle{ \ln\dot\theta = -2\ln r + C, }[/math]
Полагая [math]\displaystyle{ C = \ln\ell }[/math] и упрощая логарифмы имеем окончательно
- [math]\displaystyle{ r^2\dot\theta = \ell }[/math]
Константа [math]\displaystyle{ \ell }[/math] по смыслу является удельным угловым моментом ([math]\displaystyle{ \ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v} }[/math]). Мы показали, что в в поле центральных сил он сохраняется.
Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:
- [math]\displaystyle{ r = \frac{1}{u}, }[/math]
И переписать производные, попутно избавляясь от времени
- [math]\displaystyle{ \dot r = -\frac{1}{u^2}\dot u =-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt}= -\frac{1}{u^2}\frac{d\theta}{dt}\frac{du}{d\theta}= -\ell\frac{du}{d\theta}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ddot r = -\ell\frac{d}{dt}\frac{du}{d\theta} =-\ell\frac{d^2u}{dt\,d\theta}\cdot\frac{d\theta}{d\theta} =-\ell\dot\theta\frac{d^2u}{d\theta^2}= -\ell^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}. }[/math]
Уравнение движения в направлении [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{r}} }[/math] тогда запишется:
- [math]\displaystyle{ \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right). }[/math]
Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как
- [math]\displaystyle{ f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2 }[/math]
где [math]\displaystyle{ G }[/math] — универсальная гравитационная константа и [math]\displaystyle{ M }[/math] — масса звезды.
В результате:
- [math]\displaystyle{ \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}. }[/math]
Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{du}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+\frac{1}{2}u^2\right)=\frac{d}{du}\left(\frac{GM}{\ell^2}u\right) }[/math]
Избавляясь от которых получим:
- [math]\displaystyle{ \left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+u^2-\frac{2GM}{\ell^2}u=C }[/math]
И окончательно:
- [math]\displaystyle{ \frac{du}{d\theta}=\pm\sqrt{C+\frac{2GM}{\ell^2}u-u^2} }[/math]
Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:
- [math]\displaystyle{ u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] . }[/math]
для констант интегрирования [math]\displaystyle{ e }[/math] и [math]\displaystyle{ \theta_0 }[/math], зависящих от начальных условий.
Заменяя [math]\displaystyle{ u }[/math] на 1/[math]\displaystyle{ r }[/math] и вводя [math]\displaystyle{ p=\frac{\ell^2}{GM} }[/math], имеем окончательно:
- [math]\displaystyle{ p = r\,( 1+ e\cos(\theta-\theta_0)) }[/math]
Мы получили уравнение конического сечения с параметром [math]\displaystyle{ p }[/math] и эксцентриситетом [math]\displaystyle{ e }[/math] и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Вывод Второго закона Кеплера
По определению момент импульса [math]\displaystyle{ \mathbf{L} }[/math] точечного тела с массой [math]\displaystyle{ m }[/math] и скоростью [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] записывается в виде:
- [math]\displaystyle{ \mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} ) }[/math].
где [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] — радиус-вектор тела, а [math]\displaystyle{ \mathbf{p} = m \mathbf{v} }[/math] — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] за время [math]\displaystyle{ dt }[/math] из геометрических соображений равна
- [math]\displaystyle{ dS=\frac{1}{2}r\sin\phi v dt=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}| dt=\frac{\mathbf{|L|}}{2m}dt = \frac{\ell}{2}dt }[/math],
где [math]\displaystyle{ \phi }[/math] представляет собой угол между векторами [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math].
При выводе первого закона было показано, что [math]\displaystyle{ \ell = const }[/math]. То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:
- [math]\displaystyle{ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0 }[/math]
Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.
Получили, что [math]\displaystyle{ \mathbf L }[/math] не зависит от времени. Значит [math]\displaystyle{ |\mathbf{L}| }[/math] постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади [math]\displaystyle{ \frac{dS}{dt} }[/math] — константа.
Вывод Третьего закона Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках [math]\displaystyle{ P }[/math] (перигелий) и [math]\displaystyle{ A }[/math] (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.
- [math]\displaystyle{ \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1-\varepsilon)a\cdot V_A\,dt= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\varepsilon)a\cdot V_B\,dt }[/math]
- [math]\displaystyle{ (1-\varepsilon)\cdot V_A=(1+\varepsilon)\cdot V_B }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_A=V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon} }[/math]
Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], запишем
- [math]\displaystyle{ \frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1}{(1-\varepsilon)}-\frac{1}{(1+\varepsilon)} \right ) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right ) }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left ( \frac{2\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right ) }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_B^2 \cdot \left ( \frac{(1+\varepsilon)^2-(1-\varepsilon)^2}{(1-\varepsilon)^2}\right )=\frac{4GM\varepsilon}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+2\varepsilon+\varepsilon^2-1+2\varepsilon-\varepsilon^2}{(1-\varepsilon)^2} \right) =\frac{4GM\varepsilon}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_B^2 \cdot 4\varepsilon =\frac{4GM\varepsilon\cdot (1-\varepsilon)^2}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_B =\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\varepsilon)}{a\cdot(1+\varepsilon)}}. }[/math]
Теперь, когда нашли [math]\displaystyle{ V_B }[/math], мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим
- [math]\displaystyle{ \frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B }[/math]
- [math]\displaystyle{ = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\varepsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\varepsilon)}{a\cdot(1+\varepsilon)}} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} }[/math]
Однако полная площадь эллипса равна [math]\displaystyle{ \pi a \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a }[/math] (что равно [math]\displaystyle{ \pi a b }[/math], поскольку [math]\displaystyle{ b=\sqrt{(1-\varepsilon^2)}a }[/math]). Время полного оборота, таким образом, равно
- [math]\displaystyle{ T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a }[/math]
- [math]\displaystyle{ T\cdot \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}=\pi \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3. }[/math]
Заметим, что если масса [math]\displaystyle{ m }[/math] не пренебрежимо мала по сравнению с [math]\displaystyle{ M }[/math], то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы [math]\displaystyle{ M+m }[/math] (см. приведённая масса). При этом массу [math]\displaystyle{ M }[/math] в последней формуле нужно заменить на [math]\displaystyle{ M+m }[/math]:
- [math]\displaystyle{ T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3. }[/math]
Альтернативный расчёт
Рассмотрим планету как точку массой [math]\displaystyle{ m }[/math], вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:- перигелий с радиус-вектором [math]\displaystyle{ r_1=a-c }[/math], скоростью [math]\displaystyle{ V_1 }[/math];
- афелий с радиус-вектором [math]\displaystyle{ r_2=c+a }[/math], скоростью [math]\displaystyle{ V_2 }[/math].
Запишем закон сохранения момента импульса
- [math]\displaystyle{ mV_1r_1=mV_2r_2 }[/math]
- и закон сохранения энергии
- [math]\displaystyle{ \frac{mV_1^2}{2}-\frac{GmM}{r_1} =\frac{mV_2^2}{2}-\frac{GmM}{r_2} }[/math] ,
где M — масса Солнца.
Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:
- [math]\displaystyle{ V_1=\sqrt{2GM\frac{r_2/r_1}{r_1+r_2}} }[/math] .
Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):
- [math]\displaystyle{ V_s=1/2\cdot V_1r_1=\sqrt{GM\frac{r_2r_1}{2(r_1+r_2)}} }[/math] .
Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:
- [math]\displaystyle{ S_{ellipse}=\pi ab }[/math]
где [math]\displaystyle{ a }[/math] — длина большой полуоси, [math]\displaystyle{ b }[/math] — длина малой полуоси орбиты.
С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:
- [math]\displaystyle{ S_{ellipse}=V_s\cdot T=T\cdot\sqrt{\frac{GMr_2r_1}{2(r_1+r_2)}} }[/math] .
Следовательно,
- [math]\displaystyle{ T\cdot\sqrt{\frac{GMr_2r_1}{2(r_1+r_2)}}=\pi a b }[/math] .
Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения
- [math]\displaystyle{ c^2=a^2-b^2 }[/math]
- [math]\displaystyle{ r_1+r_2=2a }[/math]
- [math]\displaystyle{ r_1\cdot r_2=a^2-c^2=b^2 }[/math]
Подставим в формулу площади эллипса:
- [math]\displaystyle{ T\cdot\sqrt{GM\frac{b^2}{4a}}=\pi ab }[/math]
Откуда окончательно получим:
- [math]\displaystyle{ \frac{T}{a^{3/2}}=const }[/math]
или в традиционном виде
- [math]\displaystyle{ \frac{T^2}{a^3}=const . }[/math]
Примечания
- ↑ Holton, Gerald James. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. — 3rd paperback. — Piscataway, NJ : Rutgers University Press, 2001. — P. 40–41. — ISBN 978-0-8135-2908-0. Архивная копия от 12 декабря 2021 на Wayback Machine
- ↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychnonis. Prague 1609.
- ↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189.
См. также
Литература
- Кеплера законы // Энциклопедический словарь юного астронома / сост. Н. П. Ерпылев. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1986. — С. 121—122. — 336 с.
- Смородинский Я. A. Планеты движутся по эллипсам // Квант. — 1979. — № 12. — С. 13—19.
- Трефил, Дж. Законы Кеплера : [арх. 28 марта 2016] // Элементы. — Из кн. Трефил Дж. Природа науки. 200 законов мироздания. (Geleos, 2007.) = The Nature of Science. (2003) = James Trefil. Cassel's Laws of Nature: An A–Z of Laws and Principles Governing the Workings of Our Universe. (2002).