Тетрация

Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году.

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] и неотрицательного целого числа [math]\displaystyle{ n\geqslant 0 }[/math], тетрацию [math]\displaystyle{ {}^na }[/math] можно определить рекуррентно:

• [math]\displaystyle{ {}^0a=1, }[/math]
• [math]\displaystyle{ {}^na=a^{({}^{n-1}a)},\,n\gt 0. }[/math]

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

[math]\displaystyle{ {}^42=2^{2^{2^2}}=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}=2^{(2^4)}=2^{16}=65536. }[/math]

Или:

[math]\displaystyle{ {}^52=2^{2^{2^{2^2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}. }[/math]

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

[math]\displaystyle{ 2^{2^{2^2}}\ne\left((2^2)^2\right)^2=2^{2\cdot2\cdot2}=2^8=256. }[/math]

Или:

[math]\displaystyle{ 2^{2^{2^{2^2}}}\ne\left(((2^2)^2)^2\right)^2=2^{2\cdot2\cdot2\cdot2}=2^{16}=65536. }[/math]

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

Основная статья: Гипероператор

[math]\displaystyle{ \scriptstyle{\lim\limits_{n\to\infty}{^n x}} }[/math]. Бесконечное возведение в степень для основания [math]\displaystyle{ \scriptstyle{(1/e)^e\leqslant x\leqslant e^{1/e}} }[/math].

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

1. сложение:

   [math]\displaystyle{ a+b=a+\underbrace{1+1+\ldots+1}_b; }[/math]

2. умножение:

   [math]\displaystyle{ a\times b=\underbrace{a+a+\ldots+a}_b; }[/math]

3. возведение в степень:

   [math]\displaystyle{ a^b=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_b; }[/math]

4. тетрация:

   [math]\displaystyle{ {^b a}=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b. }[/math]

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

• Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
• В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм).

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

• [math]\displaystyle{ {}^b({}^ca)\neq {}^c({}^ba) }[/math], например: [math]\displaystyle{ {}^3({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2)}}=4^{4^4}=4^{256} }[/math], но [math]\displaystyle{ {}^2({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{32} }[/math].
• [math]\displaystyle{ {}^{b+c}a }[/math] не равно ни [math]\displaystyle{ {}^ba+{}^ca }[/math], ни [math]\displaystyle{ {}^ba\times {}^ca }[/math], например: [math]\displaystyle{ {}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq{}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1}3\times {}^{2}3 }[/math], так как [math]\displaystyle{ {}^{1}3+{}^{2}3=30; {}^{1}3\times{}^{2}3=81 }[/math].

Примечание: однако, верно [math]\displaystyle{ \underbrace{\log_a {\log_a{...{\log_a}}}}_b{({}^{b+c}a)}={}^ca }[/math] или [math]\displaystyle{ \underbrace{\log_a {\log_a{...{\log_a}}}}_c{({}^{b+c}a)}={}^ba }[/math].

• Тетрация минус единицы равна минус единице:

[math]\displaystyle{ {^n(-1)}=\underbrace{(-1)^{(-1)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{(-1)}}}}}}_n=-1, n\gt 0 }[/math]

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

• Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
• Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году. Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в его книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»).
• Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower) есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
• Термин «степенная башня» (англ. power tower) иногда используется, в форме «степенная башня порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]» для [math]\displaystyle{ \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_n }[/math].

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
[math]\displaystyle{ a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}} }[/math]	Тетрация
[math]\displaystyle{ a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}} }[/math]	Итерационные экспоненты
[math]\displaystyle{ a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}} }[/math]	Вложенные экспоненты (также башни)
[math]\displaystyle{ a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} }[/math]	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях [math]\displaystyle{ a }[/math] есть основание, и количество появляющихся [math]\displaystyle{ a }[/math] есть высота. В третьем выражении, [math]\displaystyle{ n }[/math] есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	[math]\displaystyle{ {}^na }[/math]	Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута	[math]\displaystyle{ a{\uparrow\uparrow}n }[/math]	Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея	[math]\displaystyle{ a\to n\to 2 }[/math]	Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана	[math]\displaystyle{ {}^n2=\mathrm{A}(4,\;n-3)+3 }[/math]	Допускает особый случай [math]\displaystyle{ a=2 }[/math] в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи	[math]\displaystyle{ {}^na=\exp_a^n(1) }[/math]	Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)	[math]\displaystyle{ \mathrm{uxp}_a n,\quad a^\frac{n}{} }[/math]
Система записи гипероператорами	[math]\displaystyle{ a^{(4)}n,\quad\mathrm{hyper}_4(a,\;n) }[/math]	Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII	a^^n	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда	{a, b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

[math]\displaystyle{ \exp_a^n(x)=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}}_n. }[/math]

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	[math]\displaystyle{ \exp_a^n(x) }[/math]	Система записи [math]\displaystyle{ \exp_a(x)=a^x }[/math] и итерационная система записи [math]\displaystyle{ f^n(x) }[/math] была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута	[math]\displaystyle{ (a{\uparrow})^n(x) }[/math]	Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация	E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)	[math]\displaystyle{ {}^n(a,\;x) }[/math]	Допускает использование больших выражений в основании.
ASCII (добавочный)	a^^n@x	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный)	exp_a^n(x)	Основана на стандартной форме записи.

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть [math]\displaystyle{ 3^{3^{3^3}} }[/math]) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.

[math]\displaystyle{ x }[/math]	[math]\displaystyle{ {}^2x }[/math]	[math]\displaystyle{ {}^3x }[/math]	[math]\displaystyle{ {}^4x }[/math]
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^3(1{,}09902) }[/math]
4	256	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^2(2{,}18788) }[/math]	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^3(2{,}18726) }[/math]
5	3 125	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^2(3{,}33931) }[/math]	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^3(3{,}33928) }[/math]
6	46 656	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^2(4{,}55997) }[/math]	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^3(4{,}55997) }[/math]
7	823 543	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^2(5{,}84259) }[/math]	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^3(5{,}84259) }[/math]
8	16 777 216	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^2(7{,}18045) }[/math]	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^3(7{,}18045) }[/math]
9	387 420 489	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^2(8{,}56784) }[/math]	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^3(8{,}56784) }[/math]
10	10 000 000 000	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^3(1) }[/math]	[math]\displaystyle{ \exp_{10}^4(1) }[/math]

Открытые проблемы

• Неизвестно, являются ли ⁿπ или ⁿe целыми числами при каком-либо натуральном n > 4. Неизвестно даже, является ли [math]\displaystyle{ {^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}} }[/math] целым.
• Неизвестно, может ли [math]\displaystyle{ {^n q} }[/math] быть рациональным числом, если [math]\displaystyle{ n }[/math] — целое число, большее 3, а [math]\displaystyle{ q }[/math] — рациональное, но не целое число (для [math]\displaystyle{ n=2,\,3 }[/math] ответ отрицателен).
• Ни для какого целого [math]\displaystyle{ n\gt 3 }[/math] неизвестно, является ли положительный корень уравнения [math]\displaystyle{ {^n x}=2 }[/math] рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Ссылки

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.
• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.