Теория Янга — Миллса
Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чжэньином Янгом и Робертом Миллсом[1], и первое время рассматривались лишь как математические поиски, не имеющие отношения к реальности[2]. Однако в 1960—1970-х годах на основе теорий Янга — Миллса были созданы две краеугольные теории стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе групп SU(2)×U(1).
Характерные свойства
Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.
Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.
Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удаётся решить приближённо в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя[3] присудит премию в 1 миллион долларов США.
Математика
Теории Янга — Миллса — частный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид
- [math]\displaystyle{ \ \mathcal{L}_\mathrm{gf} = -\frac{1}{4}\operatorname{Tr} \left(F^2 \right)=- \frac{1}{4}F^{\mu \nu a} F_{\mu \nu}^a, }[/math]
где [math]\displaystyle{ F }[/math] — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал [math]\displaystyle{ A^a_\mu }[/math] калибровочной группы:
- [math]\displaystyle{ \ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c, }[/math]
где под [math]\displaystyle{ \partial_\mu }[/math] понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.
Порождающие алгебры Ли калибровочной группы [math]\displaystyle{ T^a }[/math] удовлетворяют соотношению
- [math]\displaystyle{ \ [T^a,T^b]=if^{abc}T^c }[/math],
где [math]\displaystyle{ f^{abc} }[/math] называются структурными константами группы.
Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как:
- [math]\displaystyle{ \ D_\mu=I\partial_\mu-igT^aA^a_\mu }[/math],
где [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичный оператор, а [math]\displaystyle{ g }[/math] — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия [math]\displaystyle{ g }[/math] — это безразмерная величина. Для групп [math]\displaystyle{ SU(N) }[/math] [math]\displaystyle{ a,b,c=1\ldots N^2-1 }[/math].
Вышеприведённое определение [math]\displaystyle{ F_{\mu \nu}^a }[/math] может быть получено исходя из коммутатора:
- [math]\displaystyle{ \ [D_\mu, D_\nu] = -igT^aF_{\mu\nu}^a }[/math].
Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения:
- [math]\displaystyle{ \partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=0 }[/math]
называются полулинейными. В случае малой константы связи [math]\displaystyle{ g\lt 1 }[/math] в данной теории применима теория возмущений.
Переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, [math]\displaystyle{ f^{abc}=f_{abc} }[/math], в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Минковского [math]\displaystyle{ \eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---) }[/math].
С введением [math]\displaystyle{ F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu} }[/math] уравнения движения можно переписать так:
- [math]\displaystyle{ (D^\mu F_{\mu\nu})^a=0. }[/math]
Так как [math]\displaystyle{ F }[/math] — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки:
- [math]\displaystyle{ \ (D_\mu F_{\nu \kappa})^a+(D_\kappa F_{\mu \nu})^a+(D_\nu F_{\kappa \mu})^a=0 }[/math].
Источник [math]\displaystyle{ J_\mu^a }[/math] входит в уравнения движения как:
- [math]\displaystyle{ \partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=-J_\nu^a }[/math].
(Токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.)
В [math]\displaystyle{ D }[/math] измерениях пространства-времени поле масштабируется как [math]\displaystyle{ [A]=\left[L^\frac{2-D}{2} \right] }[/math] и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность [math]\displaystyle{ \left[g^2 \right]=\Big[L^{D-4}\Big] }[/math]. Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, для [math]\displaystyle{ D=4 }[/math] константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием [math]\displaystyle{ \phi^4 }[/math]. Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.
Примечания
- ↑ C. N. Yang, R. Mills. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance (англ.) // Physical Review : journal. — 1954. — Vol. 96, no. 1. — P. 191—195. — doi:10.1103/PhysRev.96.191.
- ↑ См. Предисловие в книге Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ. / Под ред. Г. А. Вилковыского. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1987. — 288 с.
репринтное переиздание: Череповец: Меркурий-пресс, 2000. ISBN 5-11-480064-7. - ↑ Clay Mathematics Institute. Дата обращения: 22 мая 2004. Архивировано 29 октября 2017 года.
Литература
- Янг, Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
- Славнов, А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.