Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Формулировка

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке [math]\displaystyle{ f:[a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; f\in C^0\bigl( [a,b] \bigr). }[/math] Тогда существуют [math]\displaystyle{ c,d \in \mathbb{R} }[/math] такие, что

[math]\displaystyle{ f\bigl([a,b]\bigr) = [c,d]. }[/math]

Замечания

Если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] постоянна, то [math]\displaystyle{ c=d. }[/math]
Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию [math]\displaystyle{ f:[0,1] \to \R, }[/math] заданную формулой
[math]\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{matrix} \sin \left(\frac{\pi}{2x}\right), & x \in (0,1]\\ 0, & x = 0 \end{matrix} \right.. }[/math]

Тогда функция [math]\displaystyle{ f }[/math] обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке [math]\displaystyle{ x=0. }[/math]

Теорема Серпинского. Любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Свойство Дарбу для монотонных функций

Пусть функция [math]\displaystyle{ f:[a,b] \to \R }[/math] монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Обобщение

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть [math]\displaystyle{ F:[a,b] \to \R }[/math] — дифференцируемая внутри области определения, то есть [math]\displaystyle{ F \in \mathcal{D}\bigl((a,b)\bigr), }[/math] и [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x),\; x\in (a,b), }[/math] а также дифференцируема справа в точке [math]\displaystyle{ a }[/math]: [math]\displaystyle{ F'_+(a) = f_+(a) }[/math] и слева в точке [math]\displaystyle{ b }[/math]: [math]\displaystyle{ F'_-(b) = f_-(b). }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ f\bigl([a,b]\bigr) }[/math] является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (то есть замкнуто и связно).

См. также