Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке [math]\displaystyle{ f\in C\bigl([a,b]\bigr). }[/math] Пусть также [math]\displaystyle{ f(a) \neq f(b), }[/math] и без ограничения общности предположим, что [math]\displaystyle{ f(a) = A \lt B = f(b). }[/math] Тогда для любого [math]\displaystyle{ C \in [A,B] }[/math] существует [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ f(c)=C }[/math].

Доказательство

Рассмотрим функцию [math]\displaystyle{ g(x)=f(x)-C. }[/math] Она непрерывна на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] и [math]\displaystyle{ g(a)\lt 0 }[/math], [math]\displaystyle{ g(b)\gt 0. }[/math] Покажем, что существует такая точка [math]\displaystyle{ c\in [a,b] }[/math], что [math]\displaystyle{ g(c)=0. }[/math] Разделим отрезок [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] точкой [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] на два равных по длине отрезка, тогда либо [math]\displaystyle{ g(x_0)=0 }[/math] и нужная точка [math]\displaystyle{ c=x_0 }[/math] найдена, либо [math]\displaystyle{ g(x_0)\neq 0 }[/math] и тогда на концах одного из полученных промежутков функция [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок [math]\displaystyle{ [a_1,b_1] }[/math], разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке [math]\displaystyle{ c }[/math], либо получим последовательность вложенных отрезков [math]\displaystyle{ [a_n,b_n] }[/math] по длине стремящихся к нулю и таких, что

[math]\displaystyle{ g(a_n)\lt 0\lt g(b_n). }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ c }[/math] - общая точка всех отрезков (согласно принципу Кантора, она существует и единственна) [math]\displaystyle{ [a_n,b_n] }[/math], [math]\displaystyle{ n=1,2,... }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ c=\lim a_n=\lim b_n, }[/math] и в силу непрерывности функции [math]\displaystyle{ g(x): }[/math]

[math]\displaystyle{ g(c)=\lim g(a_n)=\lim g(b_n). }[/math]

Поскольку

[math]\displaystyle{ \lim g(a_n)\le 0\le \lim g(b_n), }[/math]

получим, что [math]\displaystyle{ g(c)=0. }[/math]

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть [math]\displaystyle{ f\in C\bigl([a,b]\bigr), }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{sgn}(f(a)) \ne \operatorname{sgn}(f(b)). }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ \exists c \in [a,b] }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ f(c) = 0. }[/math]
• В частности, любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

Замечание

• Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называют первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой. На самом деле они эквивалентны.

Обобщение

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция [math]\displaystyle{ f\colon X\to\R }[/math], определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}), }[/math] и функция [math]\displaystyle{ f\in C(X). }[/math] Пусть [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2, }[/math] и [math]\displaystyle{ y_1 \lt y_2. }[/math] Тогда

[math]\displaystyle{ \forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y. }[/math]

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

История

Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. также

• Теорема Вейерштрасса
• Свойство Дарбу

Литература

• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — 528 с.