Лемма Ферма

Ле́мма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Предыстория

У Ньютона этот факт упоминался как т. н. принцип остановки:

Когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад.Исаак Ньютон

Выдвинут Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах.

Формулировка

Пусть функция [math]\displaystyle{ f:M \subset \R \to \R, }[/math] имеет во внутренней точке области определения [math]\displaystyle{ x \in M^0 }[/math] локальный экстремум. Пусть также существуют односторонние производные [math]\displaystyle{ f'_+(x_0),f'_-(x_0) }[/math] конечные или бесконечные. Тогда

• если [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — точка локального максимума, то

  [math]\displaystyle{ f'_+(x_0) \leqslant 0,\; f'_-(x_0) \geqslant 0; }[/math]

• если [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — точка локального минимума, то

  [math]\displaystyle{ f'_+(x_0) \geqslant 0,\; f'_-(x_0) \leqslant 0. }[/math]

В частности, если функция [math]\displaystyle{ f }[/math] имеет в [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] производную, то

[math]\displaystyle{ f'(x_0) = 0. }[/math]

Доказательство

Предположим, что [math]\displaystyle{ f(x_0) = \max_{x \in (a,b)} f(x) }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \forall x \in (a,b) \colon f(x) \leqslant f(x_0) }[/math].

Поэтому:

[math]\displaystyle{ f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0 - 0}\left(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right) \geqslant 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0 + 0}\left(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\right) \leqslant 0. }[/math]

Если производная [math]\displaystyle{ f'(x_0) }[/math] определена, то получаем

[math]\displaystyle{ 0 \leqslant f'_-(x_0) = f'(x_0) = f'_+(x_0) \leqslant 0 }[/math],

то есть [math]\displaystyle{ f'(x_0) = 0 }[/math].

Если [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] — точка локального минимума функции [math]\displaystyle{ f }[/math], то доказательство аналогично.

Замечание

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует наличие локального экстремума в этой точке.

Примеры

• Пусть [math]\displaystyle{ f(x) = |x| }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] — точка локального минимума, и

[math]\displaystyle{ f'_+(0) = 1 \geqslant 0 }[/math], [math]\displaystyle{ f'_-(0) = -1 \leqslant 0 }[/math] (при этом сама функция не является дифференцируемой в точке [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math]).

• Пусть [math]\displaystyle{ f(x) = x^2 }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] — точка локального минимума, и

[math]\displaystyle{ f'(0) = 0 }[/math].

• Пусть [math]\displaystyle{ f(x) = x^3 }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ f'(0) = 0 }[/math],

но точка [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math] не является точкой локального экстремума.

См. также

• Теорема Ролля
• Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции