Теорема Крейна — Мильмана
Теорема Крейна — Мильмана — важный факт из выпуклого анализа в линейных топологических пространствах. Доказана Марком Крейном и Давидом Мильманом в 1940 году[1].
Формулировка
Выпуклый компакт [math]\displaystyle{ K }[/math] в локально выпуклом пространстве [math]\displaystyle{ L }[/math] совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек [math]\displaystyle{ E(K) }[/math].
Замечания
- Для бесконечномерных пространств данная теорема, как и многие другие результаты, не может быть доказана без применения аксиомы выбора или эквивалентных ей утверждений теории множеств.
- Существуют топологические векторные пространства, содержащие выпуклые компакты без крайник точек[2].
- Утверждение аналогичное теореме Крейна — Мильмана не выполняется в пространствах Адамара со слабой топологией.[3]
Приложения
- Теорема применяется для доказательств неизоморфности различных банаховых пространств.
- Применена де Бранжем в изящном варианте доказательства теоремы Стоуна — Вейерштрасса.
Примечания
- ↑ M. Krein, D. Milman, On extreme points of regular convex sets, Studia Mathematica 9 (1940), 133—138.
- ↑ Roberts, James W. «A compact convex set with no extreme points.» Studia Mathematica 60.3 (1977): 255—266.
- ↑ Monod, Nicolas, Extreme points in non-positive curvature, arΧiv:1602.06752.
Литература
- Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. — 1988.