Теорема Какутани о неподвижной точке
Теорема Какутани о неподвижной точке — обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке на многозначные функции.
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] — непустое компактное выпуклое подмножество евклидова пространства. Пусть [math]\displaystyle{ \phi\colon S\to 2^S }[/math] — многозначная функция на [math]\displaystyle{ S }[/math], такая, что множество [math]\displaystyle{ \phi(x)\subset S }[/math] непусто и выпукло для всех [math]\displaystyle{ x\in S }[/math], и имеет замкнутый график, то есть множество
- [math]\displaystyle{ \{\,(x,y)\in S\times S\mid\,y\in \phi(x)\} }[/math]
замкнуто в топологии прямого произведения [math]\displaystyle{ S \times S }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math] имеет неподвижную точку, то есть существует точка [math]\displaystyle{ x\in S }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ x\in \phi(x) }[/math].
Замечание
Из следующего примера видно, что требование выпуклости множеств [math]\displaystyle{ \phi(x) }[/math] существенно.
Зафиксируем достаточно маленькое положительное число [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] и рассмотрим функцию
- [math]\displaystyle{ \varphi(x)=\{\, y\in[0,1]\mid |x-y|\ge \varepsilon \,\}, }[/math]
определенную на отрезке [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math]. Заметим, что множество [math]\displaystyle{ \phi(\tfrac12) }[/math] не выпукло и эта функция не имеет неподвижной точки, хотя удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы.
О доказательствах
- Теорему Какутани можно свести к теореме Брауэра аппроксимацией.
- Теорему Какутани можно вывести из леммы Шпернера аналогично теореме Брауэра.
История
Теорема доказана Сидзуо Какутани в 1941 году,[1] чтобы доказать теорему о минимаксе в антагонистической игре.
Она была использована Джоном Нэшем при доказательстве существования равновесия Нэша в знаменитой двухстраничной статье[2], которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.
Примечания
- ↑ Kakutani, Shizuo. A generalization of Brouwer’s fixed point theorem (неопр.) // Duke Mathematical Journal[англ.]. — 1941. — Т. 8, № 3. — С. 457—459. — doi:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
- ↑ Nash, J.F., Jr. Equilibrium Points in N-Person Games (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1950. — Vol. 36, no. 1. — P. 48—49. — doi:10.1073/pnas.36.1.48. — PMID 16588946.
Ссылки
- Воробьёв Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. — М.: Наука, 1984.
- Савватеев А.В. Основные теоремы теории игр // Общеинститутский семинар «Коллоквиум МИАН» 4 декабря 2014 г. 16:00, г. Москва, конференц-зал МИАН (ул. Губкина, 8).
 |