Теорема Брауэра о неподвижной точке
Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.
История
Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю: в своей работе 1904 года[1] он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений[2]. Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая [math]\displaystyle{ n=3 }[/math].
Формулировка
Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.
Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве [math]\displaystyle{ B^n\subset \mathbb R^n }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ f \colon B^n\to B^n }[/math] — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка [math]\displaystyle{ x\in B^n }[/math], что [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math].
Доказательство
Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.
Пусть теперь [math]\displaystyle{ f \colon B^n\to B^n }[/math] — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки [math]\displaystyle{ x }[/math] рассмотрим прямую, проходящую через точки [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть [math]\displaystyle{ y }[/math] — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем [math]\displaystyle{ x }[/math] лежит между [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math]. Легко видеть, что отображение [math]\displaystyle{ x\mapsto y }[/math] — ретракция шара на его границу. Противоречие.
Вариации и обобщения
- Теорема Какутани о неподвижной точке
- Теорема Шаудера о неподвижной точке[англ.] является обобщением теоремы Брауэра на случай выпуклых компактов в банаховых пространствах.
- Теорема Шаудера — Тихонова является обобщением теоремы Шаудера на случай локально выпуклых топологических векторных пространств.
- Лемма Шпернера — комбинаторный аналог теоремы Брауэра.
Следствия
Примечания
- ↑ Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
- ↑ А. Д. Мышкис, И. М. Рабинович. Первое доказательство теоремы о неподвижной точке при непрерывном отображении шара в себя, данное латышским математиком П.Г.Болем // Успехи математических наук : журнал. — Российская академия наук, 1955. — Т. 10, № 3. — С. 188—192.
Литература
- Шашкин Ю. А. Неподвижные точки. — М.: Наука, 1989. — 80 с. — (Популярные лекции по математике). — 92 000 экз.
 |