Теорема Бёрча

Теорема Бёрча – это теорема названная именем британского математика Брайана Джона Бёрча. Теорема является утверждением о существовании и представимости нулей форм нечётной степени.

Утверждение теоремы Бёрча

Пусть K алгебраическое числовое поле, k, l и n натуральные числа, [math]\displaystyle{ r_1,\dots,r_k }[/math] нечётные натуральные числа, а [math]\displaystyle{ f_1,\dots,f_k }[/math] однородные многочлены с коэффициентами из K степени [math]\displaystyle{ r_1,\dots,r_k }[/math] соответственно от n переменных. Тогда существует число [math]\displaystyle{ \psi(r_1,\dots,r_k,l,K) }[/math], такое что при

[math]\displaystyle{ n \geqslant \psi(r_1,\ldots,r_k,l,K) }[/math]

существует l-мерное векторное подпространство V в Kⁿ, такое что

[math]\displaystyle{ f_1(x) = \cdots = f_k(x) = 0 \text{ для всех } x \in V. }[/math]

Примечания

Доказательство теоремы осуществляется методом математической индукции по максимальной степени форм [math]\displaystyle{ f_1,\dots,f_k }[/math]. Существенным для доказательства является специальный случай, который может быть доказан путём применения кругового метода Харди – Литлвуда, теоремы, утверждающей, что если n достаточно велико и r нечётно, то уравнение

[math]\displaystyle{ c_1x_1^r+\cdots+c_nx_n^r=0,\quad c_i \in \mathbb{Z},\ i=1,\ldots,n }[/math]

имеет решение в целых числах [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math], в котором не все переменные равны 0.

Условие нечётности r является необходимым, поскольку формы чётного порядка, такие как положительно определённые квадратичные формы, могут иметь 0 только в начале координат.