Геодезическая кривизна

Геодезическая кривизна [math]\displaystyle{ k_g }[/math] кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] в римановой геометрии измеряет, насколько далеко кривая отличается от геодезической. Например, для 1D кривой на 2D поверхности, вложенной в 3D пространство, это кривизна кривой, спроецированной на плоскость, касательную к поверхности. Более обще, в заданном многообразии [math]\displaystyle{ \bar{M} }[/math] геодезическая кривизна ― это обычная кривизна кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] (см. ниже). Однако если кривая [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] лежит в подмногообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ \bar{M} }[/math] (например, для кривизны поверхности), геодезическая кривизна относится к кривизне [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math], и она отличается в общем виде от кривизны [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] в объемлющем многообразии [math]\displaystyle{ \bar{M} }[/math]. (Объемлющая) кривизна [math]\displaystyle{ k }[/math] кривой [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] зависит от двух факторов ― кривизны подмногообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] в направлении [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] (нормальная кривизна [math]\displaystyle{ k_n }[/math]), которая зависит только от направления кривой и кривизны [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] в многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] (геодезическая кривизна [math]\displaystyle{ k_g }[/math]), которая является величиной второго порядка. Связь между ними ― [math]\displaystyle{ k = \sqrt{k_g^2+k_n^2} }[/math]. В частности, геодезические на [math]\displaystyle{ M }[/math] имеют нулевую геодезическую кривизну («прямые»), так что [math]\displaystyle{ k=k_n }[/math].

Определение

Рассмотрим кривую [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] на многообразии [math]\displaystyle{ \bar{M} }[/math], параметризованную длиной кривой, с единичным касательным вектором [math]\displaystyle{ T=d\gamma/ds }[/math]. Её кривизна равна норме ковариантной производной вектора [math]\displaystyle{ T }[/math]: [math]\displaystyle{ k = \|DT/ds \| }[/math]. Если [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] лежит на [math]\displaystyle{ M }[/math], геодезическая кривизна равна норме проекции ковариантной производной [math]\displaystyle{ DT/ds }[/math] на касательное пространство подмногообразия. Напротив, нормальная кривизна равна норме проекции [math]\displaystyle{ DT/ds }[/math] на нормальное расслоение подмногообразия в рассматриваемой точке.

Если объемлющее многообразие является евклидовым пространством [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math], то ковариантная производная [math]\displaystyle{ DT/ds }[/math] равна обычной производной [math]\displaystyle{ dT/ds }[/math].

Пример

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] будет единичной сферой [math]\displaystyle{ S^2 }[/math] в трёхмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна сферы [math]\displaystyle{ S^2 }[/math] равна 1, независимо от рассматриваемого направления. Большие круги имеют кривизну [math]\displaystyle{ k=1 }[/math], так что они имеют нулевую геодезическую кривизну, а потому являются геодезическими. Меньшие круги радиуса [math]\displaystyle{ r }[/math] будут иметь кривизну [math]\displaystyle{ 1/r }[/math] и геодезическую кривизну [math]\displaystyle{ k_g = \frac{\sqrt{1-r^2}}{r} }[/math].

Некоторые результаты, использующие геодезическую кривизну

Геодезическая кривизна ― это ничто иное, чем обычная кривизна, вычисленная в подмногообразии [math]\displaystyle{ M }[/math]. Она не зависит от способа размещения подмногообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] в [math]\displaystyle{ \bar{M} }[/math].
Геодезическая на [math]\displaystyle{ M }[/math] имеет нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно высказыванию, что [math]\displaystyle{ DT/ds }[/math] ортогонален касательному пространству к [math]\displaystyle{ M }[/math].
С другой стороны, нормальная кривизна строго зависит от того, как подмногообразие расположено в объемлющем пространстве, но мало от кривой ― [math]\displaystyle{ k_n }[/math] зависит только от точки на многообразии и направления [math]\displaystyle{ T }[/math], но не от [math]\displaystyle{ DT/ds }[/math].
В общей римановой геометрии производная вычисляется с помощью связности Леви-Чивиты [math]\displaystyle{ \bar{\nabla} }[/math] объемлющего многообразия: [math]\displaystyle{ DT/ds = \bar{\nabla}_T T }[/math]. Она распадается на касательную часть и нормальную часть для подмногообразия ― [math]\displaystyle{ \bar{\nabla}_T T = \nabla_T T + (\bar{\nabla}_T T)^\perp }[/math]. Касательная часть является обычной производной [math]\displaystyle{ \nabla_T T }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math] (это частный случай уравнения Гаусса для Уравнения Петерсона ― Кодацци), в то время как нормальная часть равна [math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I}(T,T) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathrm{I\!I} }[/math] означает вторую квадратичную форму.
Формула Гаусса — Бонне.

См. также

Литература

Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. — Prentice-Hall, 1976. — ISBN 0-13-212589-7.
Heinrich Guggenheimer. Surfaces // Differential Geometry. — Dover, 1977. — ISBN 0-486-63433-7.
Yu.S. Slobodyan. Geodesic curvature // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Geodesic curvature (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.