Статистический критерий

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Статистический тест»)

Статистический критерий — математическое правило, в соответствии с которым принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с заданным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Определение

Пусть даны выборка [math]\displaystyle{ \mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n) }[/math] из неизвестного совместного распределения [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^{\mathbf{X}} }[/math], и семейство статистических гипотез [math]\displaystyle{ H_0,H_1,\ldots }[/math]. Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

[math]\displaystyle{ f: \mathbf{X} \to \{H_0,H_1,\ldots\} }[/math].

Таким образом, каждой реализации выборки [math]\displaystyle{ \mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n) }[/math] статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

Виды критериев

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

  • Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: [math]\displaystyle{ H_0: \quad a=a_0 }[/math] — нулевая гипотеза. [math]\displaystyle{ H_1: \quad a\gt a_0 \quad (a\lt a_0) }[/math] или [math]\displaystyle{ a\neq a_0 }[/math] — конкурирующая гипотеза.
  • Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать как критерии значимости. Критериями согласия являются:
  1. Критерий Пирсона
  2. Критерий Колмогорова
  3. Критерий Андерсона — Дарлинга
  4. Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
  5. Критерий согласия Купера
  6. Z-тест
  7. Тест Харке — Бера
  8. Критерий Шапиро — Уилка[en]
  9. График нормальности[en] — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.
  • Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (то есть проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

Непараметрические критерии

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

Параметрические критерии

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

Пример статистического критерия

Пусть дана независимая выборка [math]\displaystyle{ \mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)^{\top} }[/math] из нормального распределения [math]\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,1), \ i=1,\ldots,n }[/math] (здесь [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — неизвестный параметр). Пусть имеется две простые гипотезы:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} H_0: & \mu = 0, \\ H_1: & \mu = 1. \end{matrix} }[/math]

Тогда можно определить следующий статистический критерий:

[math]\displaystyle{ f(x_1,\ldots,x_n) = \left\{ \begin{matrix} H_0, & \bar{x} \le 0.5 \\ H_1, & \bar{x} \gt 0.5, \end{matrix} \right. }[/math]

где [math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i }[/math] — выборочное среднее.

См. также

Литература

  1. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика: Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II: Непараметрические критерии. — М.: Госстандарт РФ, 2002. Электронная версия.