Статистический критерий

Статистический критерий — математическое правило, в соответствии с которым принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с заданным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Определение

Пусть даны выборка [math]\displaystyle{ \mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n) }[/math] из неизвестного совместного распределения [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^{\mathbf{X}} }[/math], и семейство статистических гипотез [math]\displaystyle{ H_0,H_1,\ldots }[/math]. Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

[math]\displaystyle{ f: \mathbf{X} \to \{H_0,H_1,\ldots\} }[/math].

Таким образом, каждой реализации выборки [math]\displaystyle{ \mathbf{x} = (x_1,\ldots,x_n) }[/math] статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

Виды критериев

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: [math]\displaystyle{ H_0: \quad a=a_0 }[/math] — нулевая гипотеза. [math]\displaystyle{ H_1: \quad a\gt a_0 \quad (a\lt a_0) }[/math] или [math]\displaystyle{ a\neq a_0 }[/math] — конкурирующая гипотеза.

Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать как критерии значимости. Критериями согласия являются:

Критерий Пирсона
Критерий Колмогорова
Критерий Андерсона — Дарлинга
Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
Критерий согласия Купера
Z-тест
Тест Харке — Бера
Критерий Шапиро — Уилка^[en]
График нормальности^[en] — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (то есть проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

Непараметрические критерии

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

Параметрические критерии

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

Пример статистического критерия

Пусть дана независимая выборка [math]\displaystyle{ \mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)^{\top} }[/math] из нормального распределения [math]\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,1), \ i=1,\ldots,n }[/math] (здесь [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — неизвестный параметр). Пусть имеется две простые гипотезы:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} H_0: & \mu = 0, \\ H_1: & \mu = 1. \end{matrix} }[/math]

Тогда можно определить следующий статистический критерий:

[math]\displaystyle{ f(x_1,\ldots,x_n) = \left\{ \begin{matrix} H_0, & \bar{x} \le 0.5 \\ H_1, & \bar{x} \gt 0.5, \end{matrix} \right. }[/math]

где [math]\displaystyle{ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i }[/math] — выборочное среднее.

См. также

Литература

Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика: Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II: Непараметрические критерии. — М.: Госстандарт РФ, 2002. Электронная версия.