Тест Харке — Бера

Тест Ха́рке—Бе́ра (англ. Jarque-Bera test) — это статистический тест, проверяющий ошибки наблюдений на нормальность посредством сверки их третьего момента (асимметрия) и четвёртого момента (эксцесс) с моментами нормального распределения, у которого [math]\displaystyle{ S=0 }[/math], [math]\displaystyle{ K=3 }[/math].

В тесте Харке—Бера проверяется нулевая гипотеза [math]\displaystyle{ \mathcal{H}_0\colon S=0,\ K=3 }[/math] против гипотезы [math]\displaystyle{ \mathcal{H}_1\colon S\ne0,\ K\ne3 }[/math], где [math]\displaystyle{ S }[/math] — коэффициент асимметрии (Skewness), [math]\displaystyle{ K }[/math] — коэффициент эксцесса (Kurtosis)

Формулировка

Тест выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ JB=n\left( \frac{S^2}{6} + \frac{(K-3)^2}{24} \right) }[/math], где [math]\displaystyle{ S = \frac{\sum e_i^3}{n\hat\sigma^3_{ML}} }[/math], [math]\displaystyle{ K = \frac{\sum e_i^4}{n\hat\sigma^4_{ML}} }[/math], [math]\displaystyle{ e_i }[/math] — остатки модели, [math]\displaystyle{ n }[/math] — количество наблюдений, [math]\displaystyle{ \hat\sigma^2_{ML} = \frac{\sum e_i^2}{n} }[/math], ML — обозначение метода максимального правдоподобия (Maximal Likelihood). Данная статистика имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы ([math]\displaystyle{ \chi^2_2 }[/math]), поскольку коэффициенты [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ K }[/math] асимптотически нормальны, следовательно, их квадраты при нормировке дадут две случайные величины, распределённые как [math]\displaystyle{ \chi^2_1 }[/math]. Чем ближе распределение ошибок к нормальному, тем меньше статистика Харке—Бера отличается от нуля. При достаточно большом значении статистики p-value будет мало, и тогда будет основание отвергнуть нулевую гипотезу (статистика попала в «хвост» распределения).

Свойства теста

Тест Харке—Бера является асимптотическим тестом, то есть применим к большим выборкам. Если ошибки распределены нормально, то в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова оценки метода наименьших квадратов будут лучшими (иметь наименьшую дисперсию в классе линейных несмещённых оценок), и коэффициенты регрессии будут также распределены асимптотически нормально.

Литература

• Damodar N. Gujarati. Basic Econometrics. — 4. — The McGraw-Hill Companies, 2004. — С. 1002. — ISBN 978-0071123433.