Статистическая значимость
В статистике величину (значение) переменной называют статисти́чески зна́чимой, если мала вероятность случайного возникновения этой или ещё более крайних величин. Здесь под крайностью понимается степень отклонения тестовой статистики от нуль-гипотезы.
Разница называется статистически значимой, если появление имеющихся данных (или ещё более крайних данных) было бы маловероятно, если предположить, что эта разница отсутствует; это выражение не означает, что данная разница должна быть велика, важна, или значима в общем смысле этого слова.
Общая картина проблемы такова: дана выборка из некоторого пространства [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] элементарных событий (например, список пациентов, прошедших обследование на некоторую болезнь) и, возможно, значения на этой выборке некоторых переменных (функций от [math]\displaystyle{ \omega \in \Omega }[/math], например — возраст пациента, интенсивность курения, количество часов физических упражнений и т. п.). Вероятностное распределение на [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] не известно, а, наоборот, является здесь главным объектом поиска.
Различные гипотезы соответствуют различным возможным вероятностным распределениям на [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]. Точный смысл термина «гипотеза» — набор утверждений, который содержит полное описание некоторого вероятностного распределения.
Проверка гипотезы
Проверка гипотезы [math]\displaystyle{ H }[/math] (задающей вероятностное распределение [math]\displaystyle{ P_{H} }[/math]) состоит в следующем. Выбирается событие [math]\displaystyle{ S \subset \Omega }[/math] (называемое статистическим критерием), которое (по каким-либо соображениям) «почти несовместимо» с гипотезой [math]\displaystyle{ H }[/math] в том смысле, что условная вероятность [math]\displaystyle{ P_{H}(S) }[/math] события [math]\displaystyle{ S }[/math] (при условии, что гипотеза [math]\displaystyle{ H }[/math] верна) не превышает какого-то малого (по сравнению с единицей) числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], называемого уровнем значимости: [math]\displaystyle{ P_{H}(S) \leq \alpha }[/math]. Затем проводится опыт. Если событие [math]\displaystyle{ S }[/math] происходит, то гипотеза [math]\displaystyle{ H }[/math] отвергается (говорят, что наблюдается отклонение от гипотезы на уровне значимости [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]). В противном случае, гипотеза не отвергается (однако никакой метод статистики, ни даже науки в целом, не может «окончательно доказать» гипотезу).
Таким образом, уровень [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] значимости теста — вероятность отклонить гипотезу [math]\displaystyle{ H }[/math], если на самом деле она верна (решение известное как ошибка первого рода, или ложноположительное решение).
Популярными уровнями значимости являются 10 %, 5 %, 1 %, и 0,1 %.
Различные значения α-уровня имеют свои достоинства и недостатки. Меньшие α-уровни дают бо́льшую уверенность в том, что уже установленная альтернативная гипотеза значима, но при этом есть больший риск не отвергнуть ложную нулевую (или отвергнуть истинную альтернативную) гипотезу (ошибка второго рода, или «ложноотрицательное решение»), и таким образом меньшая статистическая мощность. Выбор α-уровня неизбежно требует компромисса между значимостью и мощностью, и следовательно между вероятностями ошибок первого и второго рода.
При использовании тестов на статистическую значимость нужно иметь в виду, что тест вовсе не дает оснований для принятия гипотезы[1].
См. также
Примечания
- ↑ Keith M. Bower and James A. Colton. Why We Don’t «Accept» the Null Hypothesis Архивная копия от 22 декабря 2015 на Wayback Machine // American Society for Quality, Six Sigma Forum, July 2003.
Литература
- Значимости уровень // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- Тутубалин В. Н. Глава 1, параграф 7. // Теория вероятностей и случайных процессов. — 1992. Архивная копия от 5 ноября 2015 на Wayback Machine
- George Casella, Roger L. Berger. Hypothesis Testing // Statistical Inference. — Second Edition. — Pacific Grove, CA: Duxbury, 2002. — С. 397. — 660 с. — ISBN 0-534-24312-6.