Соответствие Галуа

Соответствие Галуа (связь Галуа) — теоретико-порядковое соотношение между двумя математическими структурами, более слабое, чем изоморфизм, обобщающее связь из теории Галуа между подполями расширения и упорядоченной по включению системой подгрупп соответствующей ему группы Галуа. Понятие может быть распространено на любые структуры, наделённые отношением предпорядка.

Понятие введено Гарретом Биркгофом в 1940 году, им же и Ойстином Оре в 1940-е годы установлены основные свойства. Изначальное определение — антимонотонное, впоследствии в как общей алгебре, так и в приложениях стали чаще использовать альтернативное и двойственное ему в теоретико-категорном смысле монотонное определение.

Замыкание Галуа — операция, являющаяся замыканием, образованная композицией компонент соответствия Галуа; в антимонотонном случае обе возможные композиции функций соответствия образуют замыкания, в монотонном — только одна из таких композиций.

Соответствие Галуа широко используется в приложениях, в частности, играет основополагающую роль в анализе формальных понятий (методологии анализа данных средствами теории решёток).

Антимонотонное соответствие Галуа

Антимонотонное определение изначально дано Биркгофом и напрямую соответствует связи в теории Галуа. Согласно этому определению, соответствием Галуа называется всякая пара функций [math]\displaystyle{ \varphi: A \to B }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi: B \to A }[/math] между частично-упорядоченными множествами [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], удовлетворяющая следующими соотношениям:

• если [math]\displaystyle{ a \leqslant a' }[/math], то [math]\displaystyle{ \varphi(a) \geqslant \varphi(a') }[/math] (антимонотонность [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]),
• если [math]\displaystyle{ b \leqslant b' }[/math], то [math]\displaystyle{ \psi(b) \geqslant \psi(b') }[/math] (антимонотонность [math]\displaystyle{ \psi }[/math]),
• [math]\displaystyle{ \psi(\varphi(a)) \geqslant a }[/math] (экстенсивность [math]\displaystyle{ \psi \circ \varphi }[/math]),
• [math]\displaystyle{ \varphi(\psi(b)) \geqslant b }[/math] (экстенсивность [math]\displaystyle{ \varphi \circ \psi }[/math]).

Композиции [math]\displaystyle{ \psi \circ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi \circ \psi }[/math] оказываются монотонными, а также обладают свойством идемпотентности ([math]\displaystyle{ (\psi \circ \varphi) \circ (\psi \circ \varphi) = \psi \circ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ (\varphi \circ \psi) \circ (\varphi \circ \psi) = \varphi \circ \psi }[/math]), таким образом, являются замыканиями на [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ A }[/math] соответственно.

Определение антимонотонного соответствия Галуа для антимонотонных функций [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi }[/math] следующему условию (Юрген Шмидт, 1953): [math]\displaystyle{ b \leqslant \varphi(a) }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a \leqslant \psi(b) }[/math].

По аналогии с полярами в аналитической геометрии, связанные антимонотонным соответствием Галуа функции называют полярностями.

Монотонное соответствие Галуа

Монотонные функции [math]\displaystyle{ \gamma: A \to B }[/math] и [math]\displaystyle{ \delta: B \to A }[/math] находятся в монотонном соответствии Галуа, если выполнены следующие условия:

• [math]\displaystyle{ \gamma(\delta(b)) \geqslant b }[/math],
• [math]\displaystyle{ \delta(\gamma(a)) \leqslant a }[/math].

Эквивалентным данному определению является выполнение условия, двойственного условию Шмидта для антимонотонного варианта: [math]\displaystyle{ b \leqslant \gamma(a) }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \delta(b) \leqslant a }[/math], часто оно принимается за начальное определение.

В случае монотонного соответствия Галуа также говорят о сопряжённости функций, так как в теории категорий такое соответствие даёт сопряжённые функторы. В отличие от антимонотонной формы, где компоненты соответствия (полярности) симметричны, в монотонном соответствии различают верхнюю сопряжённую функцию — значения которой участвуют в условии справа в отношениях порядка (в данном определении — [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], и нижнюю сопряжённую — значения которой участвуют в отношениях порядка из условия слева ([math]\displaystyle{ \delta }[/math]). Иногда говорят нижней сопряжённой функции как косопряжённой (в этом случае верхняя называется просто «сопряжённой»).

Оператором замыкания в монотонном соответствии Галуа является композиция [math]\displaystyle{ \delta \circ \gamma }[/math], при этом композиция [math]\displaystyle{ \gamma \circ \delta }[/math] замыканием не является, так для неё вместо экстенсивности выполнено обратное условие (функцию с таким набором свойств иногда называют ядерным оператором или козамыканием).

Сопряжённые функторы

Всякое частично-упорядоченное множество [math]\displaystyle{ (A, \leqslant) }[/math] может быть рассмотрено как категория, в которой для каждой пары объектов [math]\displaystyle{ a, a' \in A }[/math] множество морфизмов [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom} (a, a') }[/math] состоит из единственного морфизма, если [math]\displaystyle{ a \leqslant a' }[/math] и пусто в противном случае. Для категорий, порождённых таким образом из частично-упорядоченных множеств [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], отображения [math]\displaystyle{ \gamma:A \to B }[/math] и [math]\displaystyle{ \delta: B \to A }[/math], находящиеся в монотонном соответствии Галуа, являются сопряжёнными функторами.

Сопряжёнными функторами также являются находящиеся в антимонотонном соответствии Галуа отображения [math]\displaystyle{ \varphi:A \to B^\mathrm{op} }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi: B \to A^\mathrm{op} }[/math] ([math]\displaystyle{ A^\mathrm{op} }[/math] — категория, двойственная [math]\displaystyle{ A }[/math], то есть, полученная обращением морфизмов).

Свойства

Композиция соответствий

Соответствие Галуа, как в антимонотонной, так и в монотонной форме, может быть подвергнуто операции композиции — если заданы находящиеся в соответствии Галуа пары отображений [math]\displaystyle{ (\varphi_1: A \to B, \psi_1: B \to A) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\varphi_2: B \to C, \psi_2: C \to B }[/math], то композиция:

[math]\displaystyle{ (\varphi_2, \psi_2) \circ (\varphi_1, \psi_1) = (\varphi_2 \circ \varphi_1, \psi_1 \circ \psi_2) }[/math]

вновь является соответствием Галуа.

Примеры

Теория Галуа и обобщения

В теории Галуа устанавливается соответствие между системой промежуточных подполей алгебраического расширения поля [math]\displaystyle{ L \supset K }[/math] и системой подгрупп группы Галуа этого расширения.

Пример из теории Галуа может быть естественно обобщен: вместо группы автоморфизмов поля можно рассматривать произвольную группу [math]\displaystyle{ G }[/math], действующую на множестве [math]\displaystyle{ U }[/math] отображением [math]\displaystyle{ \cdot: G \times U \to U }[/math], и отображения между упорядоченными по включению булеанами [math]\displaystyle{ \mathcal PU }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal PG }[/math]. В этом случае отображения [math]\displaystyle{ \varphi: \mathcal PU \to \mathcal PG }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi: \mathcal PG \to \mathcal PU }[/math], определяемые следующим образом:

[math]\displaystyle{ \varphi(X) = \{ \sigma \mid u \in X \Rightarrow \sigma \cdot u = u \} }[/math] (выделяет подгруппу в [math]\displaystyle{ G }[/math], оставляющую на месте все точки [math]\displaystyle{ u \in X }[/math] при действии [math]\displaystyle{ \cdot }[/math]),

[math]\displaystyle{ \psi(S) = \{ u \mid \sigma \in S \Rightarrow \sigma \cdot u = u \} }[/math] (сопоставляет множеству [math]\displaystyle{ S \subseteq G }[/math] множество неподвижных точек автоморфизмов при действии [math]\displaystyle{ \cdot }[/math])

находятся в антимонотонном соответствии Галуа.

Следующее обобщение состоит в рассмотрении произвольных множеств, между которыми задано произвольное бинарное отношение [math]\displaystyle{ \star \subseteq A \times B }[/math] и отображений между булеанами этих множеств [math]\displaystyle{ \mathcal PA }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal PB }[/math], определяемых таким образом:

[math]\displaystyle{ \varphi(X) = \{ y \in B \mid \forall (x \in X) x \star y \} }[/math],

[math]\displaystyle{ \psi(Y) = \{ x \in A \mid \forall (y \in Y) x \star y \} }[/math].

В этом случае [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi }[/math] также находятся в антимонотонном соответствии Галуа.

Булеан и обобщения

C упорядоченным по включению булеаном произвольного множества [math]\displaystyle{ \mathcal PA }[/math] и с некоторым зафиксированным его подмножеством [math]\displaystyle{ F \subseteq A }[/math] может быть связано монотонное соответствие Галуа между отображениями [math]\displaystyle{ \varphi, \psi: \mathcal PA \to \mathcal PA }[/math], задаваемыми следующим образом:

[math]\displaystyle{ \varphi(X) = F \cap X }[/math],

[math]\displaystyle{ \psi(X) = X \cup (A \setminus F) }[/math].

Такое соотношение может быть установлено в любой алгебре Гейтинга, в частности, во всякой булевой алгебре (в булевых алгебрах в терминах алгебры логики роль верхней сопряжённой функции играет конъюнкция, а нижней сопряжённой — материальная импликация).

Литература

• Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 567 с.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott. Galois Connections // Continuous Lattices and Domains. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — С. 22—35. — 629 с. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 93).
• Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1981. — 456 с.
• Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Øystein Ore. Galois Connexions (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1944. — Vol. 55. — P. 493—513. — ISSN 0002-9947. — doi:10.1090/S0002-9947-1944-0010555-7.