Скользящая средняя (фильтр)

Скользя́щая сре́дняя, скользя́щее сре́днее — разновидность цифрового фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ) либо фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) (в случае экспоненциальной скользящей средней), используется для обработки сигналов и изображений, в системах автоматического управления и для других прикладных целей.

Динамические характеристики

Разностное уравнение, которое характеризует фильтр скользящего среднего, является уравнением КИХ-фильтра.

Пусть [math]\displaystyle{ x_n }[/math] — входной сигнал фильтра, [math]\displaystyle{ y_n }[/math] — выходной сигнал, [math]\displaystyle{ P }[/math] — порядок фильтра, [math]\displaystyle{ b_i }[/math] — весовые коэффициенты отсчётов. Тогда разностное уравнение будет иметь вид:

[math]\displaystyle{ y_n = \sum_{i=0}^{P} b_i x_{n-i}. }[/math]

Отличительной особенностью фильтра скользящего среднего является равенство единице суммы коэффициентов [math]\displaystyle{ b_i }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{P} b_i = 1. }[/math]

Последнее выражение нормировки коэффициентов отличает скользящее среднее от других КИХ-фильтров. В частности, для простого скользящего среднего весовые коэффициенты отсчётов имеют следующий вид:

[math]\displaystyle{ b_{i}=\frac{1}{P+1} }[/math] для [math]\displaystyle{ i=0,1,\dots,P }[/math]

Импульсная характеристика и z-преобразование

Для того, чтобы найти импульсную переходную функцию фильтра скользящего среднего дискретные отсчёты заменяются дельта-функцией [math]\displaystyle{ \delta(n) }[/math]:

[math]\displaystyle{ x_n = \delta(n). }[/math]

Тогда импульсная характеристика такого фильтра может быть записана как:

[math]\displaystyle{ h(n) = \sum_{i=0}^{P}b_i \delta(n-i). }[/math]

Z-преобразование импульсной характеристики даёт передаточную функцию:

[math]\displaystyle{ H(z)=\sum_{i=0}^{P}b_i z^{-i}. }[/math]

См. также

Среднее арифметическое взвешенное

Литература

Стивен Смит. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing.