Скобка Мояля

В физике, в скобка Мояля — это соответствующим образом нормированное антисимметризованное произведение Мояля в фазовом пространстве.

Скобка Мояля была введена в 1940 году Хосе Энрике Моялем, но ему удалось опубликовать свою работу только в 1949 году после долгих споров с Полем Дираком.. В то же время эта идея была независимо высказана в 1946 году Хипом Груневолдом в докторской диссертации.

Обзор

Скобка Мояля — это способ построения коммутатора наблюдаемых величин в представлении фазового пространства квантовой механики, когда эти наблюдаемые описаны как функции в фазовом пространстве. Она опирается на распределения. Для определения функций на фазовом пространстве с квантовыми наблюдаемыми, наиболее известные из этих распределений задаются преобразованием Вигнера — Вейля. Скобка Мояля лежит в основе динамического уравнения Мояля, что эквивалентна формулировки квантовым уравнениям движения Гейзенберга, тем самым обеспечивая квантовое обобщение уравнения Гамильтона.

Математически, это деформации скобок Пуассона в фазовом пространстве (по сути их расширение), где в качестве параметра деформации выступает приведенная постоянная Планка ħ. Таким образом, её сокращение группы при ħ→0 задаёт алгебру Ли скобок Пуассона.

Вплоть до формальной эквивалентности, скобка Мояля — это уникальная однопараметрическая Ли-алгебраическая деформация скобки Пуассона. Его алгебраический изоморфизм с алгеброй коммутаторов обходит отрицательный результат теоремы Груневолда — Ван Хофа, которая исключает такие изоморфизмы для скобки Пуассона. Этот вопрос косвенно поднимался Дираком в 1926 году в его докторской диссертации: «метод классической аналогии» для квантования.

Например, в двухмерном плоском фазовом пространстве, и для принципа соответствия Вейля, скобка Мояля определяется как,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \{\{f,g\}\} & \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{i\hbar}(f\star g-g\star f) \\ & = \{f,g\} + O(\hbar^2), \\ \end{align} }[/math]

где ★ — это оператор звёздочного произведения в фазовом пространстве (см. произведение Мояля), f и g дифференцируемые функций в  фазовом пространстве, а {f, g} их скобка Пуассона.

Более конкретно, это выражение равняется

[math]\displaystyle{ \{\{f,g\}\}\ = \frac{2}{\hbar} ~ f(x,p)\ \sin \left ( {{\tfrac{\hbar }{2}}(\overleftarrow{\partial }_x \overrightarrow{\partial }_{p}-\overleftarrow{\partial }_{p}\overrightarrow{\partial }_{x})} \right ) \ g(x,p). }[/math]

Левая и правая стрелки над частными производными обозначают левую и правую производные. Иногда скобку Мояля называют синус скобкой.

Популярное (Фурье) интегральное представление для него, ввел Джордж Бейкер

[math]\displaystyle{ \{ \{ f,g \} \}(x,p) = {2 \over \hbar^3 \pi^2 } \int dp' \, dp'' \, dx' \, dx'' f(x+x',p+p') g(x+x'',p+p'')\sin \left( \tfrac{2}{\hbar} (x'p''-x''p')\right)~. }[/math]

Каждому отображению из фазового пространства в гильбертово пространство соответствует характеристическая скобка Мояля (здесь на примере отображения Вейля). Все такие скобки Мояля формально равноправны между собой, в соответствии с систематической теорией.

Скобка Мояля определяет одноименную бесконечномерную алгебру Ли — антисимметричную по своим аргументам f и g, и удовлетворяющую тождеству Якоби. Соответствующая абстрактная алгебра реализована T_f ≡ f★, так что

[math]\displaystyle{ [ T_f ~, T_g ] = T_{i\hbar \{ \{ f,g \} \} }. }[/math]

На 2-торе фазового пространства, T ², то есть с периодическими координатами x и p, каждая задана в полосе [0,2π], и целоечисленными индексами мод m_i для базисных функций exp(i (m₁x+m₂p)), эта алгебра Ли задаётся,

[math]\displaystyle{ [ T_{m_1,m_2} ~ , T_{n_1,n_2} ] = 2i \sin \left (\tfrac{\hbar}{2}(n_1 m_2 - n_2 m_1 )\right ) ~ T_{m_1+n_1,m_2+ n_2}, ~ }[/math]

которое редуцируется до SU(N) для целочисленных N ≡ 4π/ħ. SU(N) возникает как деформация SU(∞), с параметром деформации 1/N.

Обобщение скобки Мояля для квантовых систем со связями второго класса предполагает проведение операции на классах эквивалентности функций в фазовом пространстве,, которые могут рассматриваться как квантовые деформации скобки Дирака.

Синус скобка и косинус скобка

Рядом с синус скобкой, Груневолд дополнительно ввёл косинус скобку, определяемую по Бейкеру,

[math]\displaystyle{ \begin{align} \{ \{ \{f ,g\} \} \} & \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \tfrac{1}{2}(f\star g+g\star f) = f g + O(\hbar^2). \\ \end{align} }[/math]

Здесь, опять же, ★ — звёздочное произведение в фазовом пространстве, f и g дифференцируеме функции в фазовом пространстве, а f g — обычное произведение.

Синус и косинус скобки, соответственно, антисимметризованное и симметризованное звёздочное произведения. Таким образом, как синус скобка — отображение Вигнера коммутатора, косинус скобка образ преобразования Вигнера антикоммутатора в стандартной квантовой механике. Точно так же, как скобка Мояля равна скобке Пуассона с точностью до более высоких степеней ħ, косинус скобка равна обычному произведению с точностью до более высоких степеней ħ. В классическом пределе, скобка Мояля упрощается до уравнения Лиувилля (сформулированого в терминах скобки Пуассона), а косинус скобка сводится к классическому уравнению Гамильтона — Якоби.

Синус и косинус скобки также приводят к уравнениям чисто алгебраического описания квантовой механики.