Преобразование Вигнера — Вейля

В квантовой механике, преобразование Вигнера — Вейля (названо в честь Германа Вейля и Юджина Вигнера) — обратимое отображение функций в представлении фазового пространства на операторы гильбертова пространства в представлении Шредингера.

Часто отображение функций заданных на фазовом пространстве в пространство операторов называется преобразованием Вейля и квантованием Вейля, в то время как обратное преобразование, от операторов к функциям в фазовом пространстве, называется преобразованием Вигнера. Это сопоставление первоначально было изобретено Германом Вейлем в 1927 году в попытке получить отображение симметризованных классических функций в фазовом пространстве на операторы, процедура, известная как квантование Вейля. Сейчас известно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые можно требовать для квантования, и поэтому иногда даёт нефизические ответы. С другой стороны, обладает некоторыми хорошими свойствами, описанными ниже. Если кто-то ищет единую непротиворечивую процедуру квантования для отображения функций в классическом фазовом пространстве на операторы, то квантование Вейля является оптимальным вариантом, хотя теорема Груневолда гласит, что не существует такого отображения, которое имеет все те свойства, которые можно было бы желать в идеале.

Преобразование Вейля — Вигнера является четко определённым интегральным преобразованием между представлениями фазового пространства и операторного пространства. Самое главное, что квазивероятностное распределения Вигнера — это преобразование Вигнера матрицы плотности, и, наоборот, матрица плотности — это преобразование Вейля функции Вигнера.

В отличие от оригинальных намерений Вейля в поиске последовательной схемы квантования, это отображение просто сводится к изменению представления квантовой механики. Для этого не нужно соединять «классические» и «квантовые» величины. Например, функции из фазового пространства могут зависеть явно от постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых привычных случаях, связанных с моментом импульса. Это обратимое представление позволяет построить квантовую механику в фазовом пространстве, что было сделано в 1940 году Хилбрандом Ж. Груневолдом и Хосе Энрике Моялем.

Определение квантования Вейля для наблюдаемой

Ниже описано преобразование Вейля заданном на самом простом, двухмерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты в фазовом пространстве (q,p) и f функция, определённая всюду в фазовом пространстве. В дальнейшем, предполагается что операторы Р и Q удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, таких как привычное коммутационное соотношение между операторами координаты и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что экспоненциальные операторы [math]\displaystyle{ e^{iaQ} }[/math] и [math]\displaystyle{ e^{ibQ} }[/math] представляют собой неприводимые представления соотношений Вейля, так что теорема Стоуна — фон Неймана (гарантирующая уникальность канонических коммутационных соотношений) выполняется.

Основная формула

Преобразование Вейля (или квантование Вейля) функции f можно выразить с помощью следующего оператора в гильбертовом пространстве,

[math]\displaystyle{ \Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint\!\!\! \iint f(q,p) \rho\left(e^{i(a(Q-q) +b(P-p))}\right) \text{d}q\, \text{d}p\, \text{d}a\, \text{d}b. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] это редуцированная постоянная Планка.

Проще выполнить интегрирование по p и q, которое имеет смысл вычисления обычного преобразования Фурье [math]\displaystyle{ \tilde{f} }[/math] функции [math]\displaystyle{ f }[/math], оставляя операторы [math]\displaystyle{ e^{i(aQ+bP)} }[/math] без изменений. В этом случае преобразование Вейля можно записать в виде

[math]\displaystyle{ \Phi [f] = \frac{1}{(2\pi)^2}\iint\tilde{f}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db }[/math].

Поэтому мы можем думать об отображении Вейля следующим образом: берем обычное преобразование Фурье функции [math]\displaystyle{ f(p,q) }[/math], а затем применяя формулу обращения Фурье, мы заменяем квантовые операторы [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] для начальных классических переменных [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math], получая таким образом „квантовую версию [math]\displaystyle{ f }[/math].“

Менее симметричная форма, но и полезная для приложений, имеет вид,

[math]\displaystyle{ \Phi [f]= \frac{2}{(2\pi \hbar)^{3/2}}\iint \!\!\!\iint\!\! dq dp d\tilde{x} d\tilde{p} ~ e^{ \frac{i}{\hbar} (\tilde {x} \tilde {p} -2(\tilde{p}-p)(\tilde{x}-q))}~ f(q,p) ~ |\tilde{x}\rangle\langle \tilde{p}|. }[/math]

В координатном представлении

Отображение Вейля можно выразить в терминах ядра интегрального оператора для матричных элементов,

[math]\displaystyle{ \langle x| \Phi [f] |y \rangle = \int_{-\infty}^\infty {\text{d}p\over h} ~e^{ip(x-y)/\hbar}~ f\left({x+y\over2},p\right) . }[/math]

Обратное отображение

Обратное к вышеприведённому отображению Вейля называется отображением Вигнера, которое преобразует оператор Φ к исходной функции ядра в фазовом пространстве f,

[math]\displaystyle{ f(q,p)= 2 \int_{-\infty}^\infty \text{d}y~e^{-2ipy/\hbar}~ \langle q+y| \Phi [f] |q-y \rangle. }[/math]

Если заменить [math]\displaystyle{ \Phi[f] }[/math] в приведенном выше выражении произвольным оператором, то функция f может зависеть от постоянной Планка ħ, и может хорошо описывать квантово-механические процессы при условии, что она правильно составлена, то есть с использованием звёздочного произведения (см. ниже).

Квантование Вейля для полиномиальных наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее понимание квантования Вейля для наблюдаемых общего вида в фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений простых наблюдаемых, таких как те, которые представляются многочленами переменных [math]\displaystyle{ q }[/math] и [math]\displaystyle{ p }[/math]. В последующих разделах мы увидим, что для таких многочленов, квантование Вейля представляет собой полностью симметричный набор упорядоченных некоммутирующих операторов [math]\displaystyle{ Q }[/math] и [math]\displaystyle{ P }[/math]. Например, отображение Вигнера квадрата оператора квантового углового момента L² — это не просто классический момент импульса в квадрате, но оно также содержит смещение −3ħ²/2, которое приходится на неисчезающую часть углового момента боровской орбиты для основного состояния.

Свойства

Квантование Вейля для многочленов

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции [math]\displaystyle{ q }[/math] и [math]\displaystyle{ p }[/math] полностью определяется следующей симметричной формулой:

[math]\displaystyle{ (aq+bp)^n\longmapsto (aQ+bP)^n }[/math]

для всех действительных чисел [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math]. Из этой формулы, нетрудно показать, что квантование Вейля функции вида [math]\displaystyle{ q^k p^l }[/math] даёт среднее для всех возможных упорядочиваний [math]\displaystyle{ k }[/math] множителей [math]\displaystyle{ Q }[/math] и [math]\displaystyle{ l }[/math] множителей [math]\displaystyle{ P }[/math]. Например, для

[math]\displaystyle{ 6 p^2 q^2 ~~ \longmapsto ~~ P^2 Q^2 + Q^2 P^2 + PQPQ+PQ^2P+QPQP+QP^2Q. }[/math]

Хотя этот результат концептуально понятен, он не очень удобен для вычислений, когда [math]\displaystyle{ k }[/math] и [math]\displaystyle{ l }[/math] большие. В таких случаях, мы можем использовать формулу Маккоя

[math]\displaystyle{ p^m q^n ~~ \longmapsto ~~ {1 \over 2^n} \sum_{r=0}^{n} {n \choose r} Q^r P^m Q^{n-r}={1 \over 2^m}\sum_{s=0}^{m} {m \choose s} P^s Q^{n}P^{m-s}. }[/math]

Это выражение дает явно другой ответ для случая [math]\displaystyle{ p^2 q^2 }[/math] очевидно отличный от совершенно симметричного выражения выше. Тут нет никакого противоречия, однако, поскольку канонические коммутационные соотношения позволяют более чем одно выражение для одного и того же оператора. Используя коммутационные соотношения можно переписать полностью симметричную формулу для случая [math]\displaystyle{ p^2q^2 }[/math] в терминах операторов [math]\displaystyle{ P^2Q^2 }[/math], [math]\displaystyle{ QP^2Q }[/math] и [math]\displaystyle{ Q^2P^2 }[/math] и проверить первое выражение в формуле Маккоя для [math]\displaystyle{ m=n=2 }[/math].

Считается, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, как можно ближе к отображению скобки Пуассона в классическом случае на коммутатор в квантовом случае. (Точное соответствие невозможно, в свете теоремы Груневолда)

Теорема: Если [math]\displaystyle{ f(q,p) }[/math] это полином степени не более 2 и [math]\displaystyle{ g(q,p) }[/math] — произвольный многочлен, то [math]\displaystyle{ \Phi(\{f,g\})=\frac{1}{i\hbar}[\Phi(f),\Phi(g)] }[/math].

Квантование Вейля функций общего вида

• Если f — это вещественная функция, то её образ Вейля Φ[f] самосопряжен.
• Если f является элементом пространства Шварца, то Φ[f] — ядерный оператор в гильбертовом пространстве.
• В более общем случае, Φ[f] плотно определённый неограниченный оператор.
• Отображение Φ[f] — взаимнооднозначное соответствие на пространстве Шварца (как подпространство квадратично интегрируемых функций).

Деформационное квантование

Интуитивно, деформация математического объекта — это семейство из того же рода объектов, которые зависят от некоторого параметра(ов). Здесь, она предоставляет правила для описания того, как деформируется «классическая» коммутативная алгебра наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная идея деформационной теории заключается в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли) и спросить: существует ли одно- или более параметрическое семейство подобных структур, таких, что для начального значения параметра(ов) имеет одинаковую структуру (алгебру Ли) с начальным элементом? (Старейшей иллюстрацией этого подхода может служить представление Эратосфеном в древнем мире идеи, что сферическая Земля это деформируемая плоская Земля, с параметром деформации 1/R_⊕.) Поскольку алгебры функций на пространстве определяет геометрию этого пространства, то изучение звёздочного произведения приводит к изучению некоммутативной геометрии деформации этого пространства.

В вышеуказанном контексте плоского фазового пространства, например, звёздочное произведение (произведение Мояля, фактически введенное Груневолдом в 1946 году), ★_ħ, пары функций f₁, f₂ ∈ C^∞(ℜ²), определяется

[math]\displaystyle{ \Phi [f_1 \star f_2] = \Phi [f_1]\Phi [f_2].\, }[/math]

Звёздочное произведение не является коммутативным в целом, но переходит к обычному коммутативному произведению функций в классическом пределе ħ → 0. Говорят, что определяют деформацию коммутативной алгебры C^∞(ℜ²).

Для преобразования Вейля из примера выше, ★-произведение можно записать в терминах скобки Пуассона как

[math]\displaystyle{ f_1 \star f_2 = \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{n!} \left(\frac{i\hbar}{2} \right)^n \Pi^n(f_1, f_2). }[/math]

Здесь, Π — это пуассоновский бивектор. Оператор определён таким образом, что его степени

[math]\displaystyle{ \Pi^0(f_1,f_2)=f_1f_2 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \Pi^1(f_1,f_2)=\{f_1,f_2\}= \frac{\partial f_1}{\partial q} \frac{\partial f_2}{\partial p} - \frac{\partial f_1}{\partial p} \frac{\partial f_2}{\partial q} ~, }[/math]

где {f₁, f₂} — скобка Пуассона. В более общем виде,

[math]\displaystyle{ \Pi^n(f_1,f_2)= \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} \left( \frac{\partial^k }{\partial p^k} \frac{\partial^{n-k}}{\partial q^{n-k}} f_1 \right) \times \left( \frac{\partial^{n-k} }{\partial p^{n-k}} \frac{\partial^k}{\partial q^k} f_2 \right) }[/math]

где [math]\displaystyle{ {n \choose k} }[/math] — биномиальный коэффициент.

Так, например, гауссианы умножаются гиперболически,

[math]\displaystyle{ \exp \left (-{a } (q^2+p^2)\right ) ~ \star ~ \exp \left (-{b} (q^2+p^2)\right ) = {1\over 1+\hbar^2 ab} \exp \left (-{a+b\over 1+\hbar^2 ab} (q^2+p^2)\right ) , }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \delta (q) ~ \star ~ \delta(p) = {2\over h} \exp \left (2i{qp\over\hbar}\right ) , }[/math]

и т. д. Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (обычные скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных многообразиях Пуассона, см. формулу квантования Концевича.

Антисимметризация этого ★-произведения известна как скобка Мояля, правильная квантовая деформация скобки Пуассона, и изоморфизм (преобразование Вигнера) квантового коммутатора из заданного в фазовом пространстве в гильбертовое пространство (обычная формулировка квантовой механики). Она представляет собой основу уравнений для квантовомеханических наблюдаемых в представлении фазового пространства.

Эти результаты используются для формулировки квантовой механики в фазовом пространстве, что полностью эквивалентна представлению операторов в гильбертовом пространстве.

Средние значения при квантовании в фазовом пространстве получены изоморфно к следовому оператору наблюдаемых Φ из матрицы плотности в гильбертовом пространстве: они получены путем интегрирования по фазовому пространству от наблюдаемых, таких как выше f с квазивероятностным распределением Вигнера в качестве меры. Классические выражения, наблюдаемых, и операций (таких как скобки Пуассона) изменяются за счёт ħ-зависимых квантовых поправок, а обычная коммутативность умножения в классической механике обобщается на некоммутативное звёздочное умножение характеризующее квантовую механику и принцип неопределенности лежащий в её основе.

Следует подчеркнуть, однако, что, несмотря на свое название, деформационное Квантование не является успешной схемой квантования, а именно метод для создания квантовой теории из классической. Она позволяет всего лишь изменить представление из гильбертова пространства в фазовое пространство.

Обобщения

C большей обобщенностью, квантование Вейля изучается в тех случаях, когда фазовое пространство является симплектическим многообразием, или, возможно, пуассоновским многообразием. Родственные структуры включают группы Пуассона — Ли и алгебры Каца — Муди.

Дальнейшее чтение

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, vol. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158 
• Case, William B. Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians (англ.) // American Journal of Physics : journal. — 2008. — October (vol. 76, no. 10). — P. 937—946. — doi:10.1119/1.2957889. — . (Sections I to IV of this article provide an overview over the Wigner-Weyl transform, the Wigner quasiprobability distribution, the phase space formulation of quantum mechanics and the example of the quantum harmonic oscillator.)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Weyl quantization, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4