Симметрия относительно перестановки одинаковых частиц

Симметрия относительно перестановки одинаковых частиц — в квантовой механике принцип тождественности состояний физических систем, состоящих из частиц одного сорта, при любых перестановках частиц в них.

Например, в системе, состоящей из двух одинаковых частиц, не существует состояния, в котором первая частица находится в состоянии [math]\displaystyle{ x }[/math], а вторая в состоянии [math]\displaystyle{ y }[/math], или наоборот. Существует лишь состояние, в котором одна из частиц находится в состоянии [math]\displaystyle{ x }[/math], а другая в состоянии [math]\displaystyle{ y }[/math].

Математически в квантовой механике выражается в инвариантности (симметрии) гамильтониана системы одинаковых частиц относительно перестановки координат любой пары частиц.

Перестановку частиц осуществляет оператор перестановки частиц [math]\displaystyle{ P_{kj} }[/math], который переводит волновую функцию системы частиц:

[math]\displaystyle{ \Psi_{m_1, m_2, ..., m_j, ... m_k, ...}(r_1, r_2, ..., r_j, ..., r_k, ...)=P_{kj}\Psi_{m_1, m_2, ..., m_k, ... m_j, ...}(r_1, r_2, ..., r_k, ..., r_j, ...)\,, }[/math]

где [math]\displaystyle{ m_1, m_2, ... }[/math] — проекции спинов частиц, [math]\displaystyle{ r_1, r_2, ... }[/math] — координаты частиц. Два раза применяемый оператор перестановки не меняет волновую функцию, поэтому его собственными значениями могут быть лишь числа [math]\displaystyle{ -1 }[/math] и [math]\displaystyle{ +1 }[/math] (в двумерных системах, однако, возможны и комплексные собственные значения, приводящие к квазичастицам энионам).

Собственные функции оператора перестановки, меняющие свой знак, называются антисимметричными, оставляющие свой знак — симметричными. Симметричными волновыми функциями описываются частицы со спином, равным целому числу постоянных Планка. Для статистического описания их систем применяется статистика Бозе — Эйнштейна. Антисимметричными волновыми функциями характеризуются частицы со спином, равным полуцелому числу постоянных Планка. Для статистического описания их систем используется статистика Ферми — Дирака. Связь спина и статистики вытекает из принципа релятивистской инвариантности.

См. также

• Принцип тождественности