Симметризация и антисимметризация функции

Симметризация — это процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметрическую функцию от n переменных.

Антисимметризация преобразует любую функцию от n переменных в антисимметрическую функцию.

Две переменные

Пусть [math]\displaystyle{ S }[/math] — множество, а [math]\displaystyle{ A }[/math] — абелева группа. Если задано отображение [math]\displaystyle{ \alpha\colon S \times S \to A }[/math], [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] называется симметрическим отображением, если [math]\displaystyle{ \alpha(s,t) = \alpha(t,s) \forall s,t \in S }[/math].

Симметризация отображения [math]\displaystyle{ \alpha \colon S \times S \to A }[/math] — это отображение [math]\displaystyle{ (x,y) \mapsto \alpha(x,y) + \alpha(y,x) }[/math].

Антисимметризация или кососимметризация отображения [math]\displaystyle{ \alpha \colon S \times S \to A }[/math] — это отображение [math]\displaystyle{ (x,y) \mapsto \alpha(x,y) - \alpha(y,x) }[/math].

Сумма симметризации и антисеммитризации отображения α равна 2α. Таким образом, если кольцо допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению), как например, вещественные числа, любую функцию можно представить как сумму симметрической и антисимметрической функций.

Симметризация симметрического отображения равносильна его удвоению, тогда как симметризация знакопеременного отображения равна нулю. Аналогично, антисимметризация симметрического отображения равна нулю, в то время как антисимметризация знакопеременного отображения равносильна его удвоению.

Билинейные формы

Симметризация и антисимметризация билинейного отображения являются билинейными отображениям. Если кольцо допускает деление на 2, любая билинейная форма является суммой симметрической формы и кососимметрической и нет разницы между симметрическими и квадратичными формами.

Если кольцо не допускает деление на 2, не всякую форму можно разложить на симметрическую и кососимметрическую. Так, например, над целыми числами связанная симметрическая форма (над рациональными числами) может использовать половинки целых значений, в то время как над [math]\displaystyle{ \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}, }[/math] функция кососимметрическая тогда и только тогда, когда она cимметрическая (так как 1 = −1).

Это ведёт к понятию ε-квадратичных форм и ε-симметрических форм.

Теория представлений

В терминах теории представлений:

• перестановка переменных даёт представление симметрической группы в пространстве функций от двух переменных,
• симметрические и антисимметрические функции являются подпредставлениями, соответствующими тривиальному представлению и знаковому представлению
• симметризация и антисимметризация отображает функцию в эти подпредставления и, если кольцо допускает деление на 2, это даёт проекции.

Поскольку симметрическая группа порядка 2 равна циклической группе порядка 2 ([math]\displaystyle{ \mathrm{S}_2=\mathrm{C}_2 }[/math]), это соответствует дискретному преобразованию Фурье порядка 2.

n переменных

В более общем случае, если дана функция от n переменных, можно её симметризовать путём взятия суммы по всем [math]\displaystyle{ n! }[/math] перестановкам переменных или антисимметризовать путём взятия суммы по всем [math]\displaystyle{ n!/2 }[/math] чётным перестановкам и вычитания из неё суммы всех [math]\displaystyle{ n!/2 }[/math] нечётных перестановок (за исключением случая n ≤ 1, когда имеется единственная перестановка, так что число перестановок нечётно).

В этом случае симметризация (соответственно, антисимметризация) симметрической функции умножается на [math]\displaystyle{ n! }[/math]. Таким образом, если кольцо допускает деление на [math]\displaystyle{ n! }[/math], как бывает в случае поля характеристики [math]\displaystyle{ 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ p \gt n }[/math], это даёт проекции, если разделить на [math]\displaystyle{ n! }[/math].

В терминах теории представлений имеются подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому, но для случая [math]\displaystyle{ n \gt 2 }[/math] существую и другие — см. Теория представления симметрической группы и Симметрический многочлен.

Бутстрэп

Если задана функция от k переменных, можно получить симметрическую функцию от n переменных путём взятия суммы над подмножествами из k переменных. В статистике это называется бутстрэпом, а ассоциированные статистики называются U-статистиками.

Ссылки

• Michiel Hazewinkel. Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". — Springer, 1990. — Т. 6. — (Encyclopaedia of Mathematics). — ISBN 978-1-55608-005-0.