Симметрическая функция

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежа^[1]. Если, например, [math]\displaystyle{ f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,x_3) }[/math], функция может быть симметрической на всех переменных или парах [math]\displaystyle{ (x_1,x_2) }[/math], [math]\displaystyle{ (x_2,x_3) }[/math] или [math]\displaystyle{ (x_1,x_3) }[/math]. Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется. Также обычно не важно точное число переменных, считается что их просто достаточно много. Чтобы сделать эту идею более строгой, с помощью проективного предела осуществляется переход к так называемому кольцу симметрических функций [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math], формально содержащему бесконечное число переменных.

Симметризация

Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам, из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f. Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

Кольцо симметрических функций

Рассмотрим действие симметрической группы [math]\displaystyle{ S_n }[/math] на [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n] }[/math] — кольцо многочленов от n переменных. Она действует перестановкой переменных. Как было сказано выше, симметрические многочлены в точности те, что не меняются под действием элементов этой группы. Таким образом, они образуют подкольцо:

[math]\displaystyle{ \Lambda_n = \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_n]^{S_n} }[/math]

В свою очередь, [math]\displaystyle{ \Lambda_n }[/math] является градуированным кольцом:

[math]\displaystyle{ \Lambda_n = \bigoplus_{k \ge 0} \Lambda_n^k }[/math], где [math]\displaystyle{ \Lambda_n^k }[/math] состоит из однородных симметрических многочленов степени k, а также нулевого многочлена.

Далее с помощью проективного предела определяется кольцо симметрических функций степени k:

[math]\displaystyle{ \Lambda^k = \varprojlim_n \Lambda_n^k }[/math]

Наконец, получаем градуированное кольцо [math]\displaystyle{ \Lambda = \bigoplus_{k \ge 0} \Lambda^k }[/math], которое и называется кольцом симметрических функций.

Замечания.

[math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] не является проективным пределом [math]\displaystyle{ \Lambda_k }[/math] (в категории колец). Например, бесконечное произведение [math]\displaystyle{ \prod_{j=1}^{\infty} (1+x_j) }[/math] не содержится в [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math], т.к. содержит мономы сколь угодно большой степени.
"Определитель" [math]\displaystyle{ (\prod_{i\lt j}(x_i-x_j))^2 }[/math] также не имеет аналога в [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math].

Базисы в пространстве симметрических функций

Мономиальный базис. Для каждого разбиения [math]\displaystyle{ \lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \dots ) }[/math] определим моном [math]\displaystyle{ x^{\lambda} = x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2} \dots }[/math] Он не является симметрическим многочленом, а также содержит лишь конечное число переменных, входящих в него с ненулевой степенью. Теперь просуммируем множество мономов [math]\displaystyle{ x^{\lambda}_{\alpha} }[/math], получаемых из него всевозможными перестановками индексов [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] (каждый моном суммируется лишь один раз, даже если его можно получить с помощью нескольких различных перестановок): [math]\displaystyle{ m_{\lambda} = \sum_{\alpha} x^{\lambda}_{\alpha} }[/math]. Легко понять, что [math]\displaystyle{ m_{\lambda} }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ |\lambda|=n }[/math] образуют базис [math]\displaystyle{ \Lambda^n }[/math], а значит все [math]\displaystyle{ m_{\lambda} }[/math] образуют базис [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math], который называется мономиальным.

Элементарные симметрические функции. Для каждого целого [math]\displaystyle{ r \ge 0 }[/math] определим [math]\displaystyle{ e_r }[/math] — сумму всех возможных произведений из r различных переменных. Таким образом, [math]\displaystyle{ e_0=1 }[/math], при [math]\displaystyle{ r \ge 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ e_r = \sum_{i_1\lt i_2\lt \dots \lt i_r} x_{i_1}x_{i_2} \dots x_{i_r} = m_{(1^r)} }[/math]

Для каждого разбиения [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] элементарная симметрическая функция это [math]\displaystyle{ e_{\lambda} = e_{\lambda_1} e_{\lambda_2} \dots }[/math] Они образуют базис в пространстве [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math].

Полные симметрические функции. Для каждого целого [math]\displaystyle{ r \ge 0 }[/math] определим [math]\displaystyle{ h_r }[/math] — сумму всех мономиальных функций степени r. Таким образом, [math]\displaystyle{ h_0=1 }[/math], при [math]\displaystyle{ r \ge 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ h_r = \sum_{|\lambda|=r} m_{\lambda} }[/math]

Далее, как и случае элементарных функций, положим [math]\displaystyle{ h_{\lambda} = h_{\lambda_1} h_{\lambda_2} \dots }[/math]

Степенные суммы. Для каждого [math]\displaystyle{ r \ge 1 }[/math] степенной суммой называется [math]\displaystyle{ p_r = \sum_{i \ge 1}^{\infty} x_{i}^r = m_{(r)} }[/math].

Для разбиения [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] степенная сумма определяется как [math]\displaystyle{ p_{\lambda} = p_{\lambda_1} p_{\lambda_2} \dots }[/math]

Тождества.

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^k(-1)^ie_ih_{k-i}=0=\sum_{i=0}^k(-1)^ih_ie_{k-i} }[/math], для всех k > 0,
[math]\displaystyle{ ke_k=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}p_ie_{k-i} }[/math], для всех k > 0,
[math]\displaystyle{ kh_k=\sum_{i=1}^kp_ih_{k-i} }[/math], для всех k > 0.

Соотношения для производящих функций.

Легко показать, что [math]\displaystyle{ E(t) = \sum_{r \ge 0} e_r t^r = \prod_{i \ge 1} (1+x_it) }[/math]

Также [math]\displaystyle{ H(t) = \sum_{r \ge 0} h_r t^r = \prod_{i \ge 1} (1-x_it)^{-1} }[/math]

Отсюда следует соотношение [math]\displaystyle{ H(t) E(-t) = 1 }[/math]

Наконец, [math]\displaystyle{ P(t) = \sum_{r \ge 1} p_r t^{r-1} = \sum_{i \ge 1} \sum_{r \ge 1} x_i^rt^{r-1}= \sum_{i \ge 1} \frac{x_i}{1-x_i t} = \sum_{i \ge 1} \frac{d}{dt} ln \frac{1}{1-x_i t} = \frac{d}{dt} ln \prod_{i \ge 1} (1-x_it)^{-1} = \frac{d}{dt} ln H(t) = \frac{H'(t)}{H(t)} }[/math].

Аналогично получаем [math]\displaystyle{ P(-t) = \frac{d}{dt} ln E(t) = \frac{E'(t)}{E(t)} }[/math].

Функции Шура. Пусть имеется конечное число переменных [math]\displaystyle{ x_1, x_2, \dots, x_n }[/math] и дано разбиение [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ l(\lambda) \le n }[/math] (длина разбиения не превосходит число переменных). Тогда многочленом Шура разбиения [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] от n переменных называется [math]\displaystyle{ s_{\lambda}(x_1, x_2, \dots, x_n)= \frac{det (x_i^{\lambda_j+n-j})_{1 \le i,j \le n}}{det (x_i^{n-j})_{1 \le i,j \le n}} }[/math] — однородный симметрический многочлен степени [math]\displaystyle{ |\lambda| }[/math]. При [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math] эти многочлены сходятся к единственному элементу [math]\displaystyle{ s_{\lambda} \in \Lambda }[/math], называемому функцией Шура разбиения [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].

Функции Джека. При введении особого скалярного произведения на [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] являются обобщением функций Шура, сохраняя многие из их свойств.

Приложения

U-статистика

В статистике статистика на n-выборке (функция от n переменных), полученная путём бутстрэпа симметризации статистики на выборке из k элементов, даёт симметрическую функцию от n переменных, называемую U-статистикой^[англ.]. Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию.

См. также

Примечания

↑ Ван дер Варден, 1979, с. 121.

Литература

Macdonald I. G.^[англ.] Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. ISBN 0-8218-0770-6 MR: 1488699
Macdonald I. G.^[англ.] Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 1st edition (неопр.). — 1979.
Макдональд И.^[англ.]. Симметрические функции и многочлены Холла. — Мир, 1984. — 224 с.
David F. N., Kendall M. G., Barton D. E. Symmetric Function and Allied Tables. — Cambridge University Press, 1966.
Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan. Combinatorics: The Rota Way. — Cambridge University Press, 2009. — xii+396 с. — ISBN 978-0-521-73794-4.
— §5.1 Symmetric functions, p. 222–225.
— §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: «Наука», 1979.
— §33. Симметрические функции, с. 121.

[_593fd36117467573-1] Ван дер Варден, 1979, с. 121.

[1]