Ряд Лиувилля — Неймана
Ряд Лиуви́лля — Не́ймана в интегральном исчислении — бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром. Назван по именам Жозефа Лиувилля и Карла Неймана.
Получение ряда
Будем искать решение уравнения Фредгольма
- [math]\displaystyle{ u(x)=\lambda\int\limits_G K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x) }[/math]
методом последовательных приближений, положив [math]\displaystyle{ u^{(0)}(x)=f(x) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ u^{(p)}(x)=\lambda\int\limits_G K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda(Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots }[/math]
Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:
- [math]\displaystyle{ u^{(p)}=\sum_{k=0}^p\lambda^k(K^kf)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots }[/math]
Функции [math]\displaystyle{ (K^pf)(x) }[/math] называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на [math]\displaystyle{ G }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \|K^pf\|_C=\|K(K^{p-1}f)\|_C\leqslant M\mathrm{mes}\,G\|K^{p-1}f\|_C\leqslant\ldots\leqslant (M\mathrm{mes}\,G)^p\|f\|_C,\quad p=0,\;1,\;\ldots, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathrm{mes}\,G }[/math] — мера множества [math]\displaystyle{ G }[/math], а [math]\displaystyle{ M=\max_G|K(x,\;y)| }[/math].
Из этой оценки следует, что ряд
- [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),\quad x\in G, }[/math]
называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом
- [math]\displaystyle{ \|f\|_C\sum_{k=0}^\infty|\lambda|^k(M\mathrm{mes}\,G)^k=\frac{\|f\|_C}{1-|\lambda|M\mathrm{mes}\,G}, }[/math]
сходящимся в круге [math]\displaystyle{ |\lambda|\lt 1/(M\mathrm{mes}\,G) }[/math], поэтому при таких [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения [math]\displaystyle{ u^{(p)}(x) }[/math] при [math]\displaystyle{ p\to\infty }[/math] равномерно стремятся к искомой функции [math]\displaystyle{ u(x) }[/math].
См. также
Литература
- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5..