Кусочно-заданная функция
Кусо́чно-за́данная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на множестве вещественных чисел, которая задана отдельной формулой (или другим способом задания функции) на каждом из интервалов, составляющих область её определения.
Кусочно-аффинная функция - это числовая функция от одной переменной такая , что всю её область определения можно "разделить" на промежутки так , что на внутренности каждого из промежутков функция аффинная .
Формальное определение и задание
Пусть заданы [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_n }[/math] — точки смены задания функции.
Кусочно-заданные функции обычно задают на каждом из интервалов [math]\displaystyle{ (-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty) }[/math] отдельно. Формально записывают это в виде:
[math]\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} f_0(x),\quad x\lt x_1\\ f_1(x),\quad x_1\lt x\lt x_2\\ \cdots\\ f_n(x),\quad x_n\lt x \end{cases} }[/math].
На некоторых из интервалов либо в некоторых точках в общем случае кусочно-заданная функция может быть не определена.
Виды кусочно-заданных функций
- Если все функции — постоянные, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-постоянная функция.
- Если все функции [math]\displaystyle{ f_i(x) }[/math] являются линейными функциями, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-линейная функция.
- Если все функции [math]\displaystyle{ f_i(x) }[/math] являются непрерывными функциями, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-непрерывная функция. При этом сама она может не являться непрерывной.
- Если все функции [math]\displaystyle{ f_i(x) }[/math] являются дифференцируемыми функциями, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-гладкая функция. При этом точки смены функций могут быть, а могут и не быть точками излома.
- Если все функции [math]\displaystyle{ f_i(x) }[/math] являются монотонными функциями, то [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — кусочно-монотонная функция. При этом на соседних интервалах знак первой производной может быть разный, то есть нарастающие или падающие функции.
Примеры часто используемых кусочно-заданных функций
- Абсолютная величина (модуль) [math]\displaystyle{ y=|x| }[/math].
- Функция знака [math]\displaystyle{ y=\sgn(x) }[/math].
- Функция Хевисайда [math]\displaystyle{ \theta(x)=\begin{cases} 0, & x\lt 0; \\ 1, & x\geqslant 0.\end{cases} }[/math]
- Кусочно-линейная функция.
- Сплайн.
- B-сплайн.
Для улучшения этой статьи желательно: |