Треугольная функция

Треугольная функция.

Свёртка двух прямоугольных импульсов порождает треугольный импульс.

Треугольная функция, треугольный импульс — специальная математическая функция, определяемая как кусочно-линейная в виде:

[math]\displaystyle{ \operatorname{tri}(t) = \land (t) = \begin{cases} 1 - |t|; & |t| \lt 1 \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{cases}, }[/math]

или через свёртку двух единичных прямоугольных функций:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau-t)\ d\tau . \end{align} }[/math]

Применения

• Функция находит применение в обработке сигналов и радиосвязи, представляя собой идеализированный сигнал, являющийся составной частью более сложных реальных сигналов. Также применяется в широтно-импульсной модуляции для передачи и детектирования цифровых сигналов.
• Используется в спектральном анализе по ограниченной выборке данных как оконная функция, в этом случае её обычно называют «окном Бартлета».
• Подобные функции используются в методе конечных элементов, в качестве базиса первого порядка.

Свойства

Преобразование Фурье треугольного импульса:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \textrm{tri}(t)e^{-i \omega t} \, dt }[/math] [math]\displaystyle{ = \sqrt{2\pi} \left( \frac{\textrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})}{\sqrt{2\pi}} \right)^2 }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}^2\left(\frac{\omega}{2\pi}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm{tri}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt \ = \ \mathrm{sinc}^2(f) }[/math]

Эти результаты следуют из преобразования Фурье прямоугольной функции и свойства свёртки преобразований Фурье двух сигналов.

См. также

• Прямоугольная функция
• Отображение тент