Принцип Герца

Принцип Герца, также известный как принцип наименьшей кривизны или принцип прямейшего пути — один из вариационных принципов механики, который гласит, что при отсутствии любых активных сил (потенциальной энергии) из всех кинематически возможных (т.е. допускаемых связями) траекторий действительной будет только та, у которой наименьшая кривизна. Применялся Герцем для построения механики, в которой действие активных сил заменялось введением соответствующих связей. Впервые предложен в 1894 году.

Принцип Герца часто рассматривается как частный случай гауссовского принципа наименьшего принуждения, частный случай принципа Мопертюи в трактовке Якоби и обобщение закона инерции. Связь с принципом Гаусса обусловлена пропорциональностью принуждения квадрату кривизны. При идеальных связях принцип Герца и принцип Гаусса имеют одинаковое математическое выражение.

Кривой Гаусса-Герца на пути x (t) = x_α (t) в римановом пространстве Rⁿ × l₂, δ_ij + δ^αβ являются минимальные квадраты Лагранжа (сумма серий функций, равномерное схождение).

Математическое выражение

В принципе Герца функция Z математически выражается следующим образом:

[math]\displaystyle{ Z = \sum_{j=1}^{n} \left| \ddot \mathbf{r}_j \right|^{2} }[/math]

Кинетическая энергия [math]\displaystyle{ T }[/math] сохраняется при этимх условиях:

[math]\displaystyle{ T \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \left| \dot \mathbf{r}_j \right|^{2} }[/math]

Поскольку линейный элемент [math]\displaystyle{ ds^{2} }[/math] в [math]\displaystyle{ 3N }[/math]-мерной системе координат определяется по формуле

[math]\displaystyle{ ds^{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{j=1}^{n} \left| d\mathbf{r}_j \right|^{2} }[/math],

то закон сохранения энергии может также иметь форму

[math]\displaystyle{ \left( \frac{ds}{dt} \right)^{2} = 2T }[/math]

При делении [math]\displaystyle{ Z }[/math] на [math]\displaystyle{ 2T }[/math] появляется ещё один минимум:

[math]\displaystyle{ K \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{j=1}^{n} \left| \frac{d^{2} \mathbf{r}_j}{ds^{2}}\right|^{2} }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ \sqrt{K} }[/math] — локальная кривизна траектории в [math]\displaystyle{ 3n }[/math]-мерной системе координат, минимизация [math]\displaystyle{ K }[/math] равноценна поиску траектории с минимальной кривизной (геодезической).

Литература

• Наименьшей кривизны принцип // Моршин — Никиш. — М. : Советская энциклопедия, 1974. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 17).
• Герца принцип // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Hertz, H. (1896). Principles of Mechanics. Miscellaneous Papers. III. Macmillan.
• Georgi Georgiev, Iskren Georgiev. The Least Action and the Metric of an Organized System (англ.) // Open Systems and Information Dynamics. — 2002. — No. 9(4). — P. 371—380.
• Constantin Udriste, Massimiliano Ferrara, Ionel Tevy, Oltin Dogaru, Armando Ciancio. The least-curvature principle of Gauss and Hertz and geometric dynamics (англ.) // 9th WSEAS Int. Conf. on MATHEMATICS & COMPUTERS IN BUSINESS AND ECONOMICS (MCBE '08). — Bucharest, Romania, 2008. — 25 June. — P. 34—38.