Принцип Мопертюи
Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движения[1]. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.
Формулировка
Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией [math]\displaystyle{ E }[/math] и потенциальной энергией [math]\displaystyle{ U }[/math]. Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы [math]\displaystyle{ \int \sqrt{E-U}ds = min }[/math].
Доказательство
Рассмотрим вариацию [math]\displaystyle{ \delta \int \sqrt{E-U}ds = \int \left \{ \sqrt{E-U} \delta ds - \frac{\delta U}{2 \sqrt{E-U}} ds \right \} = 0 }[/math]. Воспользуемся равенствами [math]\displaystyle{ \delta ds = \frac{dx}{ds} \delta dx }[/math] и [math]\displaystyle{ \delta U = \frac{\partial U}{\partial x}\delta x }[/math]. Получим [math]\displaystyle{ \int \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \delta dx - \int \frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{2 \sqrt{E-U}} \delta x ds = 0 }[/math]. Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: [math]\displaystyle{ \int_{1}^{2} \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \delta dx = \Bigl. \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \delta x \Bigr|_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{d}{ds} \left \{ \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \right \}\delta x ds }[/math]. Первый член обращается в нуль вследствие вариаций [math]\displaystyle{ \delta x }[/math] на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия [math]\displaystyle{ \int \left \{ \frac {d}{ds} \left [ \sqrt{E-U} \frac {dx}{ds} \right ] + \frac{1}{2 \sqrt{E-U}} \frac{\partial U}{\partial x} \right \} \delta x ds = 0 }[/math] Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем [math]\displaystyle{ \frac{d}{ds} \left [ \sqrt{E-U} \frac{dx}{ds} \right ] = - \frac{1}{2 \sqrt{E-U}}\frac{\partial U}{\partial x} }[/math]. С учётом равенств [math]\displaystyle{ V = \sqrt{\frac{2}{m}} \sqrt{E-U} }[/math], [math]\displaystyle{ dt = \frac{ds}{V} = \sqrt{\frac{m}{2}} \frac{ds}{\sqrt{E-U}} }[/math] получим правильные уравнения движения [math]\displaystyle{ m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-\frac{\partial U}{\partial x} }[/math]. Этим доказывается справедливость принципа [math]\displaystyle{ \int \sqrt{E-U}ds = min }[/math].[2]
Примечания
- ↑ Яворский, 2007, с. 114.
- ↑ Ферми, 1968, с. 15.
Литература
- Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
- Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.