Представление Лакса

Представление Лакса — используемое в теории интегрируемых систем представление уравнений системы в виде уравнения Лакса для пары зависящих от времени операторов, называемой парой Лакса. Преимущество такого представления в том, что если удалось записать уравнения в таком виде, то автоматически получается набор первых интегралов движения.

Пара Лакса — пара операторов [math]\displaystyle{ L(t), P(t) }[/math], зависящих от времени, действующих на заданном гильбертовом пространстве и удовлетворяющих уравнению Лакса:

[math]\displaystyle{ \frac{dL}{dt}=[P,L] }[/math].

В таком случае величины [math]\displaystyle{ \operatorname{tr} L^k }[/math] являются (возможно не все независимыми) первыми интегралами движения.

Представление изначально предложено Питером Лаксом в контексте теории солитонов. Например, уравнение Кортевега — де Фриза:

[math]\displaystyle{ u_t=6uu_x-u_{xxx} }[/math]

может быть представлено посредством пары:

[math]\displaystyle{ \begin{align} L &= -\partial_{x}^2+u, \\ P &= -4\partial_{x}^3+6u\partial_{x}+3u_x \end{align} }[/math].

Множество [math]\displaystyle{ \operatorname{tr} L^k }[/math] даёт при этом счётный набор сохраняющихся величин.

Многие другие системы также могут быть записаны в виде представления Лакса, например уравнение синус-Гордона, цепочка Тоды, волчок Ковалевской, уравнение Кадомцева — Петвиашвили и так далее.

Литература

• P. Lax. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1968. — Т. 21, вып. 5. — С. 467–490. — doi:10.1002/cpa.3160210503.
• P. Lax, R. S. Phillips. Scattering Theory for Automorphic Functions // Bull. Am. Math. Soc.. — 1980. — Т. 2, вып. 2.