Первый интеграл

Пе́рвый интегра́л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

$\{\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& =& a_1(x)\\ \dots & & \\ {x_n}^{\prime }& =& a_n(x)\end{array},x\in U$

— дифференцируемая функция $f:U\to \mathbb{R}$, $U\subseteq {\mathbb{R}}^n$, такая, что её производная по направлению векторного поля $A(x)=(a_1(x),\dots ,a_n(x))$

$L_{A}f=a_1(x)\frac{\partial f}{\partial x_1}+\cdots +a_n(x)\frac{\partial f}{\partial x_n}=0$

для всех $x$ из области $U$. Другими словами, функция $f$ постоянна на любом решении системы, содержащемся в области $U$.

Первые интегралы используются при изучении автономных систем дифференциальных уравнений и решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Пусть $U$ — область в ${\mathbb{R}}^n$, $A(x)=(a_1(x),\dots ,a_n(x))$ — дифференцируемое векторное поле в $U$, $x_0\in U$, $A(x_0)\ne 0$. Тогда существует такая окрестность точки $x_0$, что система дифференциальных уравнений

$\{\begin{array}{ccc}{x_1}^{\prime }& =& a_1(x)\\ \dots & & \\ {x_n}^{\prime }& =& a_n(x)\end{array}$

имеет в этой окрестности ровно $n-1$ функционально независимых первых интегралов.

Примеры

Для уравнения $x^{″}+V(x)=0$ относительно функции $x(t)$ первым интегралом является функция $E=\frac{1}{2}{x}^{\prime 2}+\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}V(z)dz$ (полная энергия в физических приложениях).

Литература

• Арнольд В. И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1966.