Постоянная Коупленда — Эрдёша

Постоянная Коупленда — Эрдёша — вещественное число, строящееся как конкатенация «0,» («ноль целых…») со сцепленной последовательностью возрастающих простых чисел в десятичной записи:

0,235711131719232931374143…

Постоянная иррациональна; данный факт можно доказать с помощью теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии или постулата Бертрана или теоремой Рамаре (гласящей, что любое чётное целое число является суммой не более шести простых чисел). Данный факт также следует из того, что данная постоянная — нормальное число; нормальность постоянной в десятичной записи доказана в 1949 году Артуром Коуплендом (англ. Arthur Herbert Copeland) и Палом Эрдёшом.

Любая постоянная, образованная конкатенацией «0,» со всеми простыми числами в арифметической прогрессии [math]\displaystyle{ dn + a }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] — взаимно простое число с числом [math]\displaystyle{ d }[/math] и числом 10, будет иррациональной. К примеру, таковы простые числа принимающие форму [math]\displaystyle{ 4n + 1 }[/math] или [math]\displaystyle{ 8n + 1 }[/math]. Согласно теореме Дирихле, арифметическая прогрессия [math]\displaystyle{ dn \cdot 10^m + a }[/math] содержит простые числа для любого числа [math]\displaystyle{ m }[/math], и эти простые числа также находятся в [math]\displaystyle{ cd + a }[/math], следовательно среди этих конкатенацированных простых чисел будет содержаться любое желаемое количество нулей, следующих друг за другом.

Постоянная Коупленда — Эрдёша может быть выражена как:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty p_n 10^{-\left(n + \sum_{k=1}^n \lfloor \log_{10}{p_k} \rfloor \right)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ p_n }[/math] — это [math]\displaystyle{ n }[/math]-е простое число.

Непрерывная дробь числа — [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …].

Похожие постоянные

Для любой позиционной системы счисления с основанием [math]\displaystyle{ b }[/math] число:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty b^{-p_n} }[/math],

которое может быть записано в этой системе счисления как 0,0110101000101000101…, где [math]\displaystyle{ n }[/math]-я цифра — это 1, если [math]\displaystyle{ n }[/math] — простое число, является иррациональным.

Постоянная Чемперноуна — конкатенация всех положительных целых чисел, а не только простых чисел.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Copeland-Erdos Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• G. H. Hardy, E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. — 5^{th ed.}. — Oxford University Press, 1938. — ISBN 0-19-853171-0.