Порядок величины

Порядок величины — класс эквивалентности [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_n }[/math] величин (или шкал) [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_n=\lbrace{}x_n\rbrace }[/math], выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение [math]\displaystyle{ r=\frac{x_n}{x_{n-1}} }[/math] к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_n }[/math] а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса [math]\displaystyle{ n }[/math] при условии, что некоторый класс [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_0 }[/math] был задан или подразумевается).

Порядок числа

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию [math]\displaystyle{ b }[/math], чаще всего принимают [math]\displaystyle{ r=b }[/math] и [math]\displaystyle{ 1\in\mathcal{C}_1 }[/math], [math]\displaystyle{ b\in\mathcal{C}_2 }[/math]. При этом [math]\displaystyle{ n }[/math] совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

[math]\displaystyle{ \mathcal{C}_1\supset\lbrace{}1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\rbrace }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathcal{C}_2\supset\lbrace{}10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\rbrace }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathcal{C}_3\supset\lbrace{}100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900\rbrace }[/math]

Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают

порядки чисел по основанию [math]\displaystyle{ b=10 }[/math],
порядки чисел по основанию [math]\displaystyle{ b=2 }[/math]
порядки чисел по основанию [math]\displaystyle{ b=e }[/math].

Порядок чисел в естественном языке

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в [math]\displaystyle{ 10^n }[/math] раз больше, где [math]\displaystyle{ n }[/math] — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше». Также последнее время стало распространённым ошибочное использование выражения «порядка N», где N — некоторое число. При этом исходя из контекста понятно, что подразумевается «примерно N», что, конечно, не соответствует определению термина «порядок числа».

Порядок чисел и логарифмическая функция

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_{n},\mathcal{C}_{n+1},\mathcal{C}_{n+2},\ldots,\mathcal{C}_{n+d} }[/math] могут быть записаны как [math]\displaystyle{ x, rx, r^2x,\ldots,r^dx }[/math], где [math]\displaystyle{ x\in\mathcal{C}_{n} }[/math] — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то [math]\displaystyle{ \left|\log_r\frac{x_1}{x_2}\right| \lt 1 }[/math].

Доказательство

Действительно, пусть числа [math]\displaystyle{ m\in\mathcal{C}_n }[/math] и [math]\displaystyle{ M\in\mathcal{C}_n }[/math] являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_n }[/math]. Если число [math]\displaystyle{ x\in\mathcal{C}_n }[/math] так же принадлежит порядку [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_n }[/math], то его значение должно удовлетворять условию [math]\displaystyle{ m\leq x\leq M }[/math]. В то же время числа [math]\displaystyle{ rm }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{1}{r}M }[/math] принадлежат смежным с порядком [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_n }[/math] порядкам [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_{n+1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_{n-1} }[/math] соответственно. Из этого следует, что для любого числа [math]\displaystyle{ x }[/math] в данном порядке выполняется соотношение [math]\displaystyle{ \frac{1}{r}M \lt m\leq x\leq M \lt rm }[/math].

Пусть два числа [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] принадлежат данному порядку [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_n }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ -1=\log_r\frac{m}{rm} \lt \log_r\frac{x_1}{x_2} \lt \log_r\frac{M}{\frac{1}{r}M}=1 }[/math].

Разность порядков

Если два числа [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] принадлежат порядкам [math]\displaystyle{ x_1\in\mathcal{C}_{n_1} }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2\in\mathcal{C}_{n_2} }[/math] в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение [math]\displaystyle{ d=d(x_1, x_2)=n_2-n_1 }[/math] иногда называют разностью порядков этих чисел.

Для двух чисел [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] разность их порядков может быть найдена как [math]\displaystyle{ d = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor }[/math] при [math]\displaystyle{ x_2 \geq x_1 }[/math].

Доказательство

Выберем число [math]\displaystyle{ x_2^\mathord{*}\in\mathcal{C}_{n_1} }[/math] принадлежащее порядку [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_{n_1} }[/math] и соответствующее числу [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] из порядка [math]\displaystyle{ \mathcal{C}_{n_2} }[/math]. По определению порядка существует такое целое [math]\displaystyle{ d }[/math], что [math]\displaystyle{ x_2^\mathord{*}=r^{-d}x_2 }[/math]. Получаем, что [math]\displaystyle{ \log_r\frac{x_2}{x_1}=\log_r\frac{r^dx_2^\mathord{*}}{x_1} = d + \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1} }[/math].

Числа [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2^\mathord{*} }[/math] принадлежат одному порядку и потому [math]\displaystyle{ \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1} \lt 1 }[/math]. В то же время число [math]\displaystyle{ d }[/math] является целым, а значит [math]\displaystyle{ d=\left\lfloor{}d\right\rfloor = \left\lfloor{}d + \log_r\frac{x_2^\mathord{*}}{x_1}\right\rfloor = \left\lfloor\log_r\frac{x_2}{x_1}\right\rfloor }[/math].

В случае [math]\displaystyle{ x_2 \leq x_1 }[/math] разность порядков иногда берут с отрицательным знаком [math]\displaystyle{ d(x_1, x_2) = -d(x_2, x_1) }[/math].

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение [math]\displaystyle{ d = \log_r\frac{x_2}{x_1} }[/math].

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math] различаются не более чем на полпорядка», то есть [math]\displaystyle{ \left|\log_r\frac{x_2}{x_1}\right|\leq \frac{1}{2} }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{r}}x_1\leq x_2\leq \sqrt{r}x_1 }[/math].

См. также

Ссылки

Brians, Paus Orders of Magnitude (неопр.). Дата обращения: 9 мая 2013. Архивировано 22 апреля 2017 года.
Order of Magnitude (неопр.). Wolfram MathWorld. Дата обращения: 3 января 2017. Архивировано 6 января 2017 года.