Лоренцево сокращение

Лоренцево сокращение, Фицджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращением длины движущегося тела или масштаба, — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы и пространство имеют меньшую длину (линейные размеры) в направлении движения, чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.

Эффект значим, только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.

Строгое определение

Пусть стержень покоится в инерциальной системе отсчёта K и расстояние между концами стержня, измеренное в К («собственная» длина стержня), равно l. Пусть далее стержень движется вдоль своей длины со скоростью v относительно некой другой (инерциальной) системы отсчёта K'. В таком случае расстояние l' между концами стержня, измеренное в системе отсчета K', составит

[math]\displaystyle{ l' = \sqrt{1 - (v/c)^2}\ l }[/math] , где c — скорость света.

При этом расстояния поперёк движения одинаковы в обеих системах отсчета K и K'.

Величина γ, обратная множителю с корнем, называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки системы отсчёта K' составит

[math]\displaystyle{ T' = \frac {1}{\gamma} \frac l v }[/math] .

Вывод

Преобразования Лоренца

Сокращение длины может быть выведено из преобразований Лоренца несколькими способами:

[math]\displaystyle{ \begin{align} x' & =\gamma\left(x-vt\right),\\ t' & =\gamma\left(t-vx/c^{2}\right). \end{align} }[/math]

Через известную длину движущегося объекта

Пусть в инерциальной системе отсчета К [math]\displaystyle{ x_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ x_{2} }[/math] обозначают концы движущегося объекта. Тогда его длина [math]\displaystyle{ L }[/math] определяется через одновременное положение концов [math]\displaystyle{ t_{1}=t_{2} }[/math]. Собственную длину объекта в К'-системе можно рассчитать через преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из К в К' приводит к различающемуся времени. Но это не проблема, так как объект покоится в К'-системе, и не имеет значения, в какой момент времени произведены измерения. Поэтому достаточно сделать преобразования пространственных координат, что дает:

[math]\displaystyle{ x'_{1}=\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right), x'_{2}=\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right). }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ t_{1}=t_{2} }[/math], то, положив [math]\displaystyle{ L=x_{2}-x_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'} }[/math], собственная длина в К'-системе, получается

[math]\displaystyle{ L_{0}^{'}=L\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(1)}, }[/math]

В соответствии с этим измеренная длина в К-системе получается уменьшенной

[math]\displaystyle{ L=L_{0}^{'}/\gamma. \qquad \qquad \text{(2)} }[/math]

В соответствии с принципом относительности объекты, покоящиеся в К-системе, будут также уменьшены в К'-системе. Поменяв симметрично нештрихованные и штрихованные обозначения:

[math]\displaystyle{ L_{0}=L'\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(3)} }[/math]

Тогда уменьшенная длина, измеряемая в К'-системе:

[math]\displaystyle{ L'=L_{0}/\gamma.\qquad \qquad \text{(4)} }[/math]

Через известную собственную длину

Если объект покоится в К-системе и известна его собственная длина, то одновременность измерений концов объекта в К'-системе необходимо рассчитать, потому что объект постоянно меняет свою позицию. В таком случае необходимо преобразовать и пространственные, и временные координаты:

[math]\displaystyle{ \begin{align} x_{1}^{'} & =\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right), & & & x_{2}^{'} & =\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right)\\ t_{1}^{'} & =\gamma\left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right), & & & t_{2}^{'} & =\gamma\left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right). \end{align} }[/math]

Так как [math]\displaystyle{ t_{1}=t_{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ L_{0}=x_{2}-x_{1} }[/math], получаемые результаты не одновременны:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \Delta x' & =\gamma L_{0}\\ \Delta t' & =\gamma vL_{0}/c^{2} \end{align} }[/math]

Для получения одновременных положений концов необходимо вычесть из [math]\displaystyle{ \Delta x' }[/math] расстояние, пройденное вторым концом со скоростью [math]\displaystyle{ v }[/math] в течение времени [math]\displaystyle{ \Delta t' }[/math] :

[math]\displaystyle{ \begin{align} L' & =\Delta x'-v\Delta t'\\ & =\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\ & =L_{0}/\gamma \end{align} }[/math]

Таким образом, движущаяся длина в К'-системе уменьшилась. Точно так же можно рассчитать симметричный результат для объекта, покоящегося в К'-системе

[math]\displaystyle{ L=L^{'}_{0}/\gamma }[/math].

Объяснение

Сокращение длин возникает из-за свойств псевдоевклидовой геометрии пространства Минковского, аналогичных удлинению сечения, например, цилиндра, когда оно проводится не строго поперёк оси, а косо. Говоря иначе, «один и тот же момент времени» с точки зрения системы отсчёта, где стержень движется, не будет являться одним и тем же моментом с точки зрения системы отсчёта, связанной со стержнем. То есть процедура измерения расстояния в одной системе отсчёта с точки зрения любой другой системы отсчёта является не процедурой измерения чистого расстояния, когда положения, например, концов стержня засекаются в один и тот же момент времени, а смесью измерения пространственного расстояния и промежутка времени, которые вместе составляют инвариантный, то есть не зависящий от системы отсчёта, пространственно-временной интервал.

См. также: преобразования Лоренца

Реальность сокращения длины

Диаграмма Минковского мысленного эксперимента Эйнштейна 1911 года, изображающая сокращение длины. В результате движения двух стержней с длиной покоя [math]\displaystyle{ A'B'=A''B''=L_0 }[/math] со скоростью 0,6c в противоположных направлениях видно, что [math]\displaystyle{ A^\ast B^\ast \lt L_0 }[/math] .

В 1911 году Владимир Варичак утверждал, что, согласно Лоренцу, сокращение длины воспринимается объективно, в то время как, по мнению Эйнштейна, это «всего лишь кажущееся субъективное явление, вызванное способом упорядочивания наших часов и измерением длин». Эйнштейн опубликовал опровержение:

Автор необоснованно заявил о различии моих взглядов и взглядов Лоренца относительно физических фактов. Вопрос о том, действительно ли существует сокращение длины, только запутывает. Его «на самом деле» не существует, поскольку оно не существует для сопутствующего наблюдателя; хотя оно «действительно» существует, то есть в том смысле, что оно в принципе может быть продемонстрировано физическими средствами сторонним наблюдателем.Альберт Эйнштейн, 1911

Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины — это не просто результат произвольных определений, касающихся способа упорядочивания часов и измерения длин. Он предложил следующий мысленный эксперимент: Пусть A'B' и A"B" будут концами двух стержней одинаковой длины L₀, измеренных на x' и x" соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль оси x*, рассматриваемой в состоянии покоя, с одинаковой по отношению к ней скоростью. Затем концевые точки A'A" встречаются в точке A*, а B'B" встречаются в точке B*. Эйнштейн показал, что длина A*B* короче, чем A'B 'или A''B'', что также можно продемонстрировать, остановив один из стержней по отношению к этой оси.

Значение для физики

Лоренцево сокращение лежит в основе таких эффектов, как парадокс Эренфеста и парадокс Белла, показывающих непригодность понятий классической механики к СТО. Они показывают невозможность, соответственно, раскрутить и придать ускорение гипотетическому «абсолютно твёрдому телу».

Литература

• Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.608-609.

См. также

• Форма релятивистских объектов
• Прецессия Томаса
• Релятивистское замедление времени
• Парадокс шеста и сарая