Инвариантная масса

Инвариантная масса, неизменная масса (в современной специальной литературе — просто масса) — это скалярная физическая величина, имеющая размерность массы, вычисляемая как функция энергии и импульса всех составных частей замкнутой физической системы и инвариантная относительно преобразований Лоренца.

У физических систем с времениподобным четырехимпульсом инвариантная масса положительна, у физических систем с нулевым четырехимпульсом (безмассовых физических систем, например, один фотон или множество фотонов, движущихся в одном и том же направлении) инвариантная масса равна нулю.

Если объекты внутри системы находятся в относительном движении, то инвариантная масса всей системы будет отличаться от суммы масс образующих её объектов.

Для изолированной "массивной" системы центр масс системы движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. В системе отсчета, относительно которой скорость центра масс равна нулю, общий импульс системы равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя". В этой системе отсчета инвариантная масса системы равна общей энергии системы, деленной на квадрат скорости света {{"c"²}}. Эта общая энергия является "минимальной" энергией, которую можно наблюдать у системы, когда ее видят различные наблюдатели из разных инерциальных систем отсчета.

Система отсчета, относительно которой скорость центра масс равна нулю, не существует для группы фотонов, движущихся в одном направлении. Однако, когда два или более фотона движутся в разных направлениях, существует система координат центра масс. Таким образом, инвариантная масса системы из нескольких фотонов, движущихся в разных направлениях, положительна, несмотря на то, что она равна нулю для каждого фотона.

Возможные 4-импульсы частиц. Одна имеет нулевую инвариантную массу, другая ненулевую.

Сумма масс

Инвариантная масса системы включает массу любой кинетической энергии составляющих системы, которая остается в центре системы отсчета импульса, поэтому инвариантная масса системы может быть больше суммы инвариантных масс ее отдельных составляющих. Например, масса и инвариантная масса равны нулю для отдельных фотонов, даже если они могут добавлять массу к инвариантной массе систем. По этой причине инвариантная масса, как правило, не является аддитивной величиной (хотя есть несколько редких ситуаций, когда это может быть, как в случае, когда массивные частицы в системе без потенциальной или кинетической энергии могут быть добавлены к общей массе).

Рассмотрим простой случай системы из двух тел, где объект A движется к другому объекту B, который изначально находится в состоянии покоя (в любой конкретной системе отсчета). Величина инвариантной массы этой системы из двух тел (см. определение ниже) отличается от суммы масс покоя (т.е. их соответствующей массы в неподвижном состоянии). Даже если мы рассмотрим ту же систему с точки зрения центра импульса, где чистый импульс равен нулю, величина инвариантной массы системы не равна сумме масс покоя частиц внутри нее.

Кинетическая энергия частиц системы и потенциальная энергия силовых полей (возможно, отрицательная) вносят вклад в инвариантную массу системы. Сумма кинетических энергий частиц, является наименьшей в системе координат центра импульса.

Для изолированной "массивной" системы центр масс движется по прямой с постоянной субсветовой скоростью. Таким образом, всегда можно разместить наблюдателя, который будет двигаться вместе с ним. В этой системе отсчета, которая является системой центра масс, общий импульс равен нулю, и систему в целом можно рассматривать как "находящуюся в состоянии покоя", если это связанная система ннапример, бутылка с газом). В этой системе отсчета, которая существует всегда, инвариантная масса системы равна общей энергии системы (в системе отсчета с нулевым импульсом), деленной на "c"².

Определение в физике элементарных частиц

В физике элементарных частиц инвариантная масса m₀ системы [math]\displaystyle{ N }[/math] элементарных частиц может быть рассчитана по энергиям частиц [math]\displaystyle{ E_{i} }[/math] и их импульсам [math]\displaystyle{ \mathbf{P}_{i} }[/math], [math]\displaystyle{ i=1, ... N }[/math], измеренными в произвольной системе отсчёта, с помощью соотношения энергии и импульса:

[math]\displaystyle{ m_0^2 c^4 = \left( \sum_{i} E_{i} \right) ^2 - \left\| \sum_{i} \mathbf{p}_{i} \right\| ^2 c^2 }[/math]

или в релятивистской системе единиц где [math]\displaystyle{ c = 1 }[/math],

[math]\displaystyle{ m_0^2 = \left( \sum_{i} E_{i} \right) ^2 - \left\| \sum_{i} \mathbf{p}_{i} \right\| ^2 }[/math]

Инвариантная масса одинакова во всех системах отсчета (см. также специальная теория относительности). С математической точки зрения она представляет собой псевдоевклидову длину четырёхвектора (E, p), рассчитанную с использованием релятивистской версии теоремы Пифагора, которая использует разные знаки для пространственных и временных измерений. Эта длина сохраняется при любом смещении или вращении Лоренца в четырех измерениях, точно так же, как обычная длина вектора, сохраняется при вращениях.

Поскольку инвариантная масса определяется из величин, которые сохраняются во время распада, инвариантная масса, рассчитанная с использованием энергии и импульса продуктов распада одной частицы, равна массе распавшейся частицы.

В экспериментах по неупругому рассеянию инвариантная масса необнаруженной частицы, уносящей с собой часть энергии и импульса, называется недостающей массой [math]\displaystyle{ W }[/math]. Она определяется (в релятивистской системе единиц):

[math]\displaystyle{ W^2 = \left( \sum E_\text{in} - \sum E_\text{out} \right) ^2 - \left\| \sum \mathbf{p}_\text{in} - \sum \mathbf{p}_\text{out} \right\| ^2 . }[/math]

Если есть одна доминирующая частица, которая не была обнаружена во время эксперимента, ее массу можно определить по пику на графике ее инвариантной массы.

В тех случаях, когда импульс вдоль одного направления не может быть измерен (т.е. в случае нейтрино, о присутствии которого можно судить только по недостающей энергии), используется поперечная масса.

Примеры

Столкновение двух частиц

При столкновении двух частиц (или распаде двух частиц) квадрат инвариантной массы (в в релятивистской системе единиц) равен

[math]\displaystyle{ \begin{align} M^2 &= ( E_1 + E_2 ) ^2 - \left\| \textbf{p}_1 + \textbf{p}_2 \right\| ^2 \\ &= m_1^2 + m_2^2 + 2 \left( E_1 E_2 - \textbf{p}_1 \cdot \textbf{p}_2 \right) . \end{align} }[/math]

Безмассовые частицы

Инвариантная масса системы, состоящей из двух безмассовых частиц, импульсы которых образуют угол [math]\displaystyle{ \theta }[/math] имеет удобное выражение:

[math]\displaystyle{ \begin{align} M^2 &= (E_1 + E_2) ^2 - \left\| \textbf{p}_1 + \textbf{p}_2 \right\| ^2 \\ &= [ ( p_1 , 0 , 0 , p_1 ) + ( p_2 , 0 , p_2 \sin \theta , p_2 \cos \theta ) ] ^2 \\ &= (p_1 + p_2) ^2 - p_2 ^2 \sin^2 \theta - ( p_1 + p_2 \cos \theta ) ^2 \\ &= 2 p_1 p_2 ( 1 - \cos \theta ) . \end{align} }[/math]

Эксперименты на коллайдере

В экспериментах на коллайдере частиц часто определяют угловое положение частицы в терминах азимутального угла  [math]\displaystyle{ \phi }[/math] и псевдобыстроты [math]\displaystyle{ \eta }[/math]. Кроме того, обычно измеряется поперечный импульс, [math]\displaystyle{ p_{T} }[/math]. В этом случае, если частицы безмассовые или сильно релятивистские ([math]\displaystyle{ E \gg m }[/math]), то инвариантная масса определяется как:

[math]\displaystyle{ M^2 = 2 p_{T 1} p_{T 2} ( \cosh(\eta_1 - \eta_2) - \cos (\phi_1 - \phi_2) ) . }[/math]

См. также

• Масса в специальной теории относительности
• Инвариант (физика)
• Поперечная масса