Система центра масс

Систе́ма це́нтра масс (систе́ма це́нтра ине́рции) — невращающаяся система отсчёта, связанная с центром масс механической системы. Обычно сокращается как с. ц. м. или с. ц. и. Суммарный импульс системы в с.ц.м. равен нулю. Для замкнутой системы её система центра масс инерциальна, тогда как незамкнутая система в общем случае может обладать неинерциальной системой центра масс. Суммарная кинетическая энергия механической системы в с.ц.м. минимальна среди всех систем отсчёта; в любой другой невращающейся (необязательно инерциальной) системе отсчёта кинетическая энергия равна кинетической энергии в с.ц.м. плюс кинетическая энергия движения механической системы как целого (MV²/2, где М — полная масса механической системы, V — относительная скорость движения систем отсчёта).

При рассмотрении задач рассеяния частиц термин «система центра масс» употребляется как антоним термина «лабораторная система отсчёта».

Если экспериментальные исследования проводятся в лабораторной системе, то есть в системе, связанной с наблюдателем (неподвижным относительно частицы-мишени), то теоретическое рассмотрение задач рассеяния удобно проводить в движущейся относительно мишени системе центра масс. При переходе от лабораторной системы в систему центра масс меняются определения углов рассеяния частиц, так что для сравнения теории с экспериментом необходимо проводить перерасчёт полученных сечений рассеяния.

Например, при изучении столкновения двух одинаковых частиц, одна из частиц (мишень) до столкновения остается неподвижной, вторая налетает с некоторой конечной скоростью. При упругом лобовом столкновении вторая частица останавливается, передавая всю свою кинетическую энергию и импульс первой частице. Такая картина наблюдается в лабораторной системе отсчета. С точки зрения системы центра масс, частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями и после столкновения разлетаются в обе стороны с теми же (с точностью до знака) скоростями.

В нерелятивистском пределе координаты центра масс системы из n частиц, имеющих массы [math]\displaystyle{ m_k }[/math] и (в некоторой системе отсчёта К) радиус-векторы [math]\displaystyle{ \vec{r_k} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \vec{R}^{\prime}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}{\vec{r_k}m_{k}}}{\sum\limits_{k=1}^{n}{m_{k}}}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}{\vec{r_k}m_{k}}}{M} }[/math]

(М — масса всей системы тел). Продифференцировав по времени, получим скорость движения центра масс

[math]\displaystyle{ \vec{V}^{\prime}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}{\vec{v_k}m_k}}{M}=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}{\vec{p_k}}}{M} }[/math]

([math]\displaystyle{ \vec{p_k} }[/math] — импульсы частиц), которую можно использовать для перехода от данной системы отсчёта К к системе центра масс, вычисляя скорости и радиус-векторы частиц в ней по формулам:

[math]\displaystyle{ \vec{r_k}^{\prime} = \vec{r_k} - \vec{R}^{\prime}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec{v_k}^{\prime} = \vec{v_k} - \vec{V}^{\prime}. }[/math]

В релятивистском случае центр масс не является лоренц-инвариантом, однако система центра масс определяется и играет важную роль в релятивистской кинематике. Систему центра масс в релятивистском случае следует определять как систему отсчёта, в которой сумма импульсов всех тел системы равна нулю.

См. также

• Лабораторная система отсчёта
• Теорема о движении центра масс системы

Литература

• Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. — 3-е изд.. — М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432 с. — ISBN 5329007429.