Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Интегрирующий множитель»)

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1), }[/math]

где функции [math]\displaystyle{ P(t,x) }[/math] и [math]\displaystyle{ Q(t,x) }[/math] определены и непрерывны в некоторой области [math]\displaystyle{ \Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x} }[/math].

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть [math]\displaystyle{ \begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix} }[/math], то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции [math]\displaystyle{ U(t,x) }[/math], т.е. определяются уравнением [math]\displaystyle{ U(t,x)=C }[/math] при всевозможных значениях произвольной постоянной [math]\displaystyle{ C }[/math].

Если в области [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] выполнено условие [math]\displaystyle{ Q(t,x)\ne0 }[/math] , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения [math]\displaystyle{ U(t,x)=C }[/math] как неявная функция [math]\displaystyle{ x=\varphi(t,C) }[/math]. Через каждую точку области [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] проходит единственная интегральная кривая [math]\displaystyle{ x=\varphi(t,C) }[/math] уравнения (1).

Если рассматриваемая область [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] односвязна, а производные [math]\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial t} }[/math]также непрерывны в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

[math]\displaystyle{ \frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial t} \qquad \forall(t,x)\in\Omega }[/math]

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Непрерывная функция [math]\displaystyle{ \mu(t,x)\ne0 }[/math] в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение [math]\displaystyle{ \mu(Pdt+Qdx)=0 }[/math] является уравнением в полных дифференциалах, то есть [math]\displaystyle{ \mu(Pdt+Qdx)=dU }[/math] для некоторой функции [math]\displaystyle{ U(t,x) }[/math]. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция [math]\displaystyle{ \mu(t,x) }[/math] является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ \frac{\partial{\left(\mu P\right)}}{\partial x}=\frac{\partial{\left(\mu Q\right)}}{\partial t}\qquad \left(2\right) }[/math]

(область [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде [math]\displaystyle{ \mu=\mu(t) }[/math] или [math]\displaystyle{ \mu=\mu(x) }[/math], но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1) [math]\displaystyle{ \begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix} }[/math]

(2) [math]\displaystyle{ \begin{matrix}P'_x(t,x)=Q'_t(t,x)\end{matrix} }[/math]

(3) [math]\displaystyle{ \begin{matrix}U'_t=P(t,x) , U'_x=Q(t,x)\end{matrix} }[/math]

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*) [math]\displaystyle{ \begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x) dt+\varphi(x)\end{matrix} }[/math]

Подставим в (3).2:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}U'_x(t,x)=(\int P(t,x) dt)'_x+\varphi'_x(x)\end{matrix} }[/math]

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: [math]\displaystyle{ \begin{matrix}\varphi'_x(x)=g(x)\end{matrix} }[/math]. Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) [math]\displaystyle{ P(t,x)=T_1(t)X_1(x),\ Q(t,x)=T_2(t)X_2(x) }[/math], то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

[math]\displaystyle{ T_1(t)X_1(x)dt+T_2(t)X_2(x)dx=0\qquad \left(3\right) }[/math]
  • Решения уравнения с разделяющимися переменными
    • Решения уравнения [math]\displaystyle{ X_1(x)T_2(t)=0 }[/math] являются решениями (3).
    • Если область [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] выбрана так, что [math]\displaystyle{ X_1(x)T_2(t)\ne0\quad\forall(t,x)\in \Omega }[/math], то разделив на [math]\displaystyle{ X_1(x)T_2(t) }[/math] получим уравнение с разделёнными переменными
[math]\displaystyle{ \frac{T_1}{T_2}dt+\frac{X_2}{X_1}dx=0. }[/math]

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку [math]\displaystyle{ (t_0,x_0)\in\Omega }[/math], имеет вид:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{t_0}^{t}{\frac{T_1}{T_2}dt}+\int\limits_{x_0}^{x}{\frac{X_2}{X_1}dx}=0. }[/math]

Пример дифференциального уравнения

[math]\displaystyle{ y'= \frac{y}{x} + cos^2\frac{y}{x} }[/math]