Кривая роста (спектроскопия)

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Кривая роста»)
Общий вид кривой роста

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины [math]\displaystyle{ W }[/math] спектральной линии поглощения от количества атомов [math]\displaystyle{ N }[/math], которые поглощают излучение в этой линии. Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд.

Кривую роста делят на три качественно различимых области. При малых [math]\displaystyle{ N }[/math] оптическая толщина поглощающего слоя мала, и эквивалентная ширина растёт прямо пропорционально [math]\displaystyle{ W \propto N }[/math] — эта часть кривой роста называется линейной. При достаточно большом [math]\displaystyle{ N }[/math] оптическая толщина становится больше единицы: центральная глубина линии перестаёт расти, происходит насыщение линии в центре и рост эквивалентной ширины продолжается за счёт крыльев линии. На этом участке кривой роста, называемом пологим, [math]\displaystyle{ W \propto \sqrt{\ln N} }[/math]. При ещё большем [math]\displaystyle{ N }[/math] начинают заметно расти части крыльев, описываемые лоренцевским профилем. Эта часть кривой роста называется областью затухания излучения, на ней [math]\displaystyle{ W \propto \sqrt{N} }[/math].

Кривые роста можно рассчитать теоретически для различных условий в атмосфере звезды. По ним можно определять содержание тех или иных химических элементов в атмосфере звезды, а сравнивая теоретические кривые роста с наблюдаемыми, можно определять различные параметры атмосферы, от которых зависит вид самой кривой роста — например, температуру или скорость микротурбулентных движений.

Зависимость эквивалентной ширины линии поглощения от числа атомов, её образующих, впервые показал в 1931 году Марсел Миннарт.

Описание

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины [math]\displaystyle{ W }[/math] спектральной линии поглощения от количества атомов [math]\displaystyle{ N }[/math], которые поглощают излучение в этой линии[1].

Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд. Излучение, выходящее из фотосферы звезды, имеет непрерывный спектр, но при прохождении его через внешние слои звёздной атмосферы излучение поглощается на некоторых длинах волн — в спектре появляются линии поглощения. В каждой такой спектральной линии излучение поглощается определённым атомом в некотором энергетическом состоянии, поэтому чем больше таких атомов на пути излучения, тем сильнее будет поглощение в спектральной линии[1][2][3].

Кривая роста может быть разделена на три части, в порядке возрастания [math]\displaystyle{ N }[/math]: линейную, где [math]\displaystyle{ W \propto N }[/math]; пологую, или переходную, в которой [math]\displaystyle{ W \propto \sqrt{\ln N} }[/math]; и область затухания излучения, где [math]\displaystyle{ W \propto \sqrt{N} }[/math][1].

  • Вид профиля спектральной линии Лайман-альфа в единицах интенсивности непрерывного спектра при разных концентрациях водорода: от 1012 атомов на см2 для линии наименьшей глубины до 1020 атомов на см2 для самой глубокой линии. Между соседними линиями концентрация меняется в 10 раз.

    Вид профиля спектральной линии Лайман-альфа в единицах интенсивности непрерывного спектра при разных концентрациях водорода: от 1012 атомов на см2 для линии наименьшей глубины до 1020 атомов на см2 для самой глубокой линии. Между соседними линиями концентрация меняется в 10 раз.

  • Кривые роста для линии Лайман-альфа при разной доплеровской ширине линии [math]\displaystyle{ b_d }[/math], связанной с половинной полушириной [math]\displaystyle{ g }[/math] гауссовского профиля линии (см. ниже[⇨]) как [math]\displaystyle{ b_d = g / \sqrt{\ln 2} }[/math].

    Кривые роста для линии Лайман-альфа при разной доплеровской ширине линии [math]\displaystyle{ b_d }[/math], связанной с половинной полушириной [math]\displaystyle{ g }[/math] гауссовского профиля линии (см. ниже[⇨]) как [math]\displaystyle{ b_d = g / \sqrt{\ln 2} }[/math].

Теория

Эквивалентная ширина

Кривая — профиль спектральной линии поглощения. Эквивалентная ширина W — это ширина прямоугольника (зелёный цвет) при условии, что его площадь равна площади над профилем линии (синий цвет).

Для описания интенсивности спектральных линий поглощения используется понятие эквивалентной ширины [math]\displaystyle{ W }[/math]: это размер области в длинах волн ([math]\displaystyle{ W_\lambda }[/math]) или в частотах ([math]\displaystyle{ W_\nu }[/math]), в которой непрерывный спектр излучает суммарно столько же энергии, сколько поглощается во всей линии[2].

Более строго [math]\displaystyle{ W }[/math] определяется следующим образом. Интенсивность излучения в спектре на частоте [math]\displaystyle{ \nu }[/math] обозначается как [math]\displaystyle{ I_\nu }[/math], а интенсивность в таком же спектре при отсутствии рассматриваемой линии — [math]\displaystyle{ I_\nu^0 }[/math]: для нахождения [math]\displaystyle{ I_\nu^0 }[/math] проводится экстраполяция соседних с линией областей спектра на область, где наблюдается линия, как если бы она отсутствовала[2]. Вводится параметр [math]\displaystyle{ a_\nu = 1 - I_\nu / I_\nu^0 }[/math], называемый глубиной линии и представляющий собой долю излучения на частоте [math]\displaystyle{ \nu }[/math], которая была поглощена. Тогда эквивалентная ширина связана с ним соотношением [math]\displaystyle{ W_\nu = \int_{\nu_1}^{\nu_2} a_\nu d \nu }[/math] или [math]\displaystyle{ W_\lambda = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} a_\lambda d \lambda }[/math] — аналогичные рассуждения можно провести для спектра по длинам волн, а не частотам. Теоретически интегрирование должно производиться от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ \infty }[/math], но на практике интегрируют на конечном интервале, включающем в себя основные части линии — как правило, ширина интервала составляет не более нескольких десятков нанометров[4]. В то же время [math]\displaystyle{ a_\nu }[/math] связана с оптической толщиной поглощающего слоя [math]\displaystyle{ \tau_\nu }[/math] на частоте [math]\displaystyle{ \nu }[/math] как [math]\displaystyle{ a_\nu = 1 - e^{-\tau_\nu} }[/math], а [math]\displaystyle{ \tau_\nu }[/math] прямо пропорциональна количеству атомов, отвечающих за поглощение в линии, на единицу площади на луче зрения [math]\displaystyle{ N }[/math][5][6][7].

Поведение при малой оптической толщине

В любом случае, когда [math]\displaystyle{ N }[/math] мало, то мала и [math]\displaystyle{ \tau_\nu }[/math] во всех частях линии. Тогда [math]\displaystyle{ a_\nu = 1 - e^{-\tau_\nu} }[/math] возрастает практически линейно с ростом [math]\displaystyle{ \tau_\nu }[/math], и, следовательно, [math]\displaystyle{ W \propto N }[/math]. Когда оптическая толщина становится достаточно большой, то рост [math]\displaystyle{ a_\nu }[/math] в центре линии замедляется, а затем практически останавливается — линейный рост продолжается, пока оптическая толщина в центре линии [math]\displaystyle{ \tau_0 }[/math] по порядку величины меньше единицы[8][9]. Увеличение [math]\displaystyle{ W }[/math] замедляется, но не прекращается, поскольку в крыльях — боковых частях линии — [math]\displaystyle{ \tau_\nu }[/math] ещё невелико. Связь между [math]\displaystyle{ W }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] для оптически толстых сред зависит от вида профиля спектральной линии[1][5][7].

Поведение при большой оптической толщине

Как правило, различные механизмы уширения, отдельно взятые, приводят либо к гауссовскому распределению [math]\displaystyle{ \tau_\nu }[/math] (например, тепловое движение атомов), либо к лоренцевскому распределению (к примеру, естественная ширина линии и уширение за счёт столкновений). Совместное действие этих механизмов приводит к образованию фойгтовского профиля, который является свёрткой гауссовского и лоренцевского[10]. Поскольку в лоренцевском профиле крылья убывают гораздо медленнее, чем в гауссовском, то в соответствующем фойгтовском профиле дальние части крыльев в любом случае близки к лоренцевскому профилю. Вид центральной части линии зависит от ширин гауссовского и лоренцевского профилей: если гауссовский профиль значительно шире, то центральная часть фойгтовского профиля будет близка к гауссовскому, и наоборот[7][11].

Гауссовский профиль

Распределение оптической толщины в линии с гауссовским профилем имеет следующий вид[12]:

[math]\displaystyle{ \tau(x) = \tau_0 \exp \left(-\frac{x^2 \ln 2}{g^2}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tau_0 }[/math] — оптическая толщина в центре линии, [math]\displaystyle{ g }[/math] — половинная полуширина линии, [math]\displaystyle{ x }[/math] — расстояние до центра линии. Для удобства можно сделать замену [math]\displaystyle{ u = \frac{x \sqrt{\ln 2}}{g} }[/math], тогда [math]\displaystyle{ u }[/math] — расстояние от центра линии в величинах доплеровской ширины, равной [math]\displaystyle{ g / \sqrt{\ln 2} }[/math]. Эквивалентная ширина линии с такими параметрами может быть выражена так[8][12]:

[math]\displaystyle{ W = \frac{2g}{\sqrt{\ln 2}} \int_0^\infty \left(1 - \exp \left[-\tau_0 e^{-u^2}\right]\right) du }[/math]

Интеграл в этом выражении не берётся аналитически, но можно приближённо считать, что при больших [math]\displaystyle{ \tau_0 }[/math], соответствующих насыщенным линиям, подынтегральное выражение близко к 0 при больших [math]\displaystyle{ u }[/math] и к 1 при малых. Условием границы между «большими» и «малыми» [math]\displaystyle{ u }[/math] можно взять значение [math]\displaystyle{ u_0 }[/math], при котором [math]\displaystyle{ \tau_0 e^{-u_0^2} = 1 }[/math]. Это условие выполняется при [math]\displaystyle{ u_0 = \sqrt {\ln \tau_0} }[/math], так что [math]\displaystyle{ W }[/math] с хорошей точностью оказывается пропорционально [math]\displaystyle{ \sqrt{\ln \tau_0} }[/math], а значит, [math]\displaystyle{ W \propto \sqrt{\ln N} }[/math][8]. Приближённое вычисление самого интеграла приводит к такому же результату[13].

Лоренцевский профиль

В линии с лоренцевским профилем распределение оптической толщины записывают в виде[14]:

[math]\displaystyle{ \tau(x) = \tau_0 \frac{l^2}{l^2 + x^2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tau_0 }[/math] — оптическая толщина в центре линии, [math]\displaystyle{ l }[/math] — половинная полуширина линии, [math]\displaystyle{ x }[/math] — расстояние до центра линии. Для удобства делается замена [math]\displaystyle{ y = x / l }[/math], тогда [math]\displaystyle{ y }[/math] — расстояние от центра линии в единицах половинной полуширины. Эквивалентная ширина в этом случае принимает вид[14]:

[math]\displaystyle{ W = 2l \int_0^\infty \left(1 - \exp \left[-\frac{\tau_0}{y^2 + 1} \right]\right) dy }[/math]

При достаточно больших [math]\displaystyle{ \tau_0 }[/math] центр линии оказывается насыщенным, а убывание оптической толщины в крыльях происходит приблизительно как [math]\displaystyle{ y^{-2} }[/math]. Тогда ширина приближённо выражается[8][14]:

[math]\displaystyle{ W = 2l \int_0^\infty \left(1 - \exp \left[-\frac{\tau_0}{y^2} \right]\right) dy }[/math]

Если сделать замену [math]\displaystyle{ z^2 = \tau_0 / u^2 }[/math][8][14]:

[math]\displaystyle{ W = 2l \sqrt{\tau_0} \int_0^\infty \left(1 - \exp \left[-z^2 \right]\right) d(1/z) }[/math]

Таким образом, для лоренцевского профиля [math]\displaystyle{ W }[/math] растёт пропорционально[math]\displaystyle{ \sqrt{\tau_0} }[/math], а значит, [math]\displaystyle{ W \propto \sqrt{N} }[/math][7][8].

Фойгтовский профиль

Линии поглощения в спектрах звёзд, как правило, описываются фойгтовским профилем, в котором лоренцевская ширина очень мала по сравнению с гауссовской. Это значит, что центральные части линий близки к гауссовским, а крылья — к лоренцевским[15].

Таким образом, при достаточно больших значениях [math]\displaystyle{ N }[/math] оптическая толщина в центре становится больше единицы, но крылья лоренцевского профиля ещё слишком слабы, и рост [math]\displaystyle{ W }[/math] происходит в основном за счёт областей, где профиль линии близок к гауссовскому — пропорционально [math]\displaystyle{ \sqrt{\ln N} }[/math]. При очень больших [math]\displaystyle{ N }[/math] дальние части крыльев линии, описываемые лоренцевским профилем, становятся достаточно сильными и [math]\displaystyle{ W }[/math] начинает расти приблизительно пропорционально [math]\displaystyle{ \sqrt{N} }[/math][1][9][16]. Типичное значение оптической толщины в центре линии, при которой происходит переход от пологой части кривой роста к области радиационного затухания, составляет около 103[8], хотя оно зависит от отношения лоренцевской и гауссовской ширины: чем больше лоренцевская ширина, тем при меньших [math]\displaystyle{ \tau_0 }[/math] происходит переход[17].

Использование

Кривые роста можно рассчитать теоретически для заданной модели звёздной атмосферы — в общем случае для этого необходимо решать уравнение переноса излучения для заданных условий в атмосфере звезды, таких как температура, плотность вещества и других параметров в зависимости от глубины в атмосфере. Таким образом, сравнение теоретических кривых роста с наблюдаемыми позволяет измерять те параметры звёзд, от которых зависит кривая роста, а эквивалентные ширины линий позволяют определять содержание соответствующих химических элементов[1].

Для отдельно взятой звезды кривая роста определённой линии может быть построена по мультиплетам — наборам спектральных линий, которые соответствуют переходам с общего нижнего уровня. Число атомов [math]\displaystyle{ N }[/math] неизвестно для данной звезды, но для всех этих переходов заведомо одно и то же. Кроме того, обычно известны вероятности переходов, поэтому для мультиплета может быть выбрано подходящее семейство кривых роста и определено [math]\displaystyle{ N }[/math][18].

Вид кривой роста зависит, к примеру, от температуры звезды и от скорости микротурбулентных движений газа в ней. Повышение температуры и увеличение скорости микротурбулентности увеличивают гауссовскую ширину линии, уменьшая при этом оптическую глубину в её центре — при этом эквивалентная ширина остаётся прежней, но насыщение линии и прекращение линейного роста наступает при большем [math]\displaystyle{ N }[/math] и при большей эквивалентной ширине[1][19]. Кроме того, микротурбулентность и температура по-разному влияют на кривую роста: при одной и той же температуре атомы разных масс имеют разные средние скорости, и гауссовская ширина линий таких атомов различается. Микротурбулентность же вызывает движение с одинаковыми скоростями — это позволяет разделять эффекты температуры и микротурбулентности[20].

История изучения

В 1931 году Марсел Миннарт впервые показал, как эквивалентная ширина линии поглощения зависит от числа атомов, её образующих. Другие учёные, среди которых были Дональд Мензел и Альбрехт Унзольд, впоследствии дорабатывали теорию кривой роста[21].

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Хохлова В. Л. Кривая роста. Астронет. Дата обращения: 15 августа 2021. Архивировано 2 августа 2021 года.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Черепащук А. М. Спектральные линии. Астронет. Дата обращения: 1 сентября 2021. Архивировано 2 августа 2021 года.
  3. ↑ Соболев, 1985, с. 83—84.
  4. ↑ Tatum J. Stellar Atmospheres. 9.1: Introduction, Radiance, and Equivalent Width (англ.). Physics LibreTexts (25 января 2017). Дата обращения: 1 сентября 2021. Архивировано 1 сентября 2021 года.
  5. ↑ 5,0 5,1 Tatum J. Stellar Atmospheres. 11.2: A Review of Some Terms (англ.). Physics LibreTexts (25 января 2017). Дата обращения: 19 августа 2021. Архивировано 10 августа 2021 года.
  6. ↑ Tatum J. Stellar Atmospheres. 11.3: Theory of the Curve of Growth (англ.). Physics LibreTexts (25 января 2017). Дата обращения: 19 августа 2021. Архивировано 19 августа 2021 года.
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 Richmond, M. The curve of growth. Rochester Institute of Technology[англ.]. Дата обращения: 19 августа 2021. Архивировано 18 февраля 2020 года.
  8. ↑ 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,6 Pogge R. W. Neutral Atomic Hydrogen (HI) Regions (англ.). The Ohio State University pp. 7—16. Дата обращения: 4 сентября 2021. Архивировано 4 сентября 2021 года.
  9. ↑ 9,0 9,1 Антипова Л. И. Кривая роста // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  10. ↑ Tatum J. Stellar Atmospheres. 10.4: Combination of Profiles (англ.). Physics LibreTexts (25 января 2017). Дата обращения: 19 августа 2021. Архивировано 10 августа 2021 года.
  11. ↑ Юков Е. А. Контур спектральной линии // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  12. ↑ 12,0 12,1 Tatum J. Stellar Atmospheres. 11.4: Curve of Growth for Gaussian Profiles (англ.). Physics LibreTexts (25 января 2017). Дата обращения: 1 сентября 2021. Архивировано 10 августа 2021 года.
  13. ↑ Соболев, 1985, с. 134.
  14. ↑ 14,0 14,1 14,2 14,3 Tatum J. Stellar Atmospheres. 11.5: Curve of Growth for Lorentzian Profiles (англ.). Physics LibreTexts (25 января 2017). Дата обращения: 1 сентября 2021. Архивировано 10 августа 2021 года.
  15. ↑ Соболев, 1985, с. 88—90.
  16. ↑ Соболев, 1985, с. 133—138.
  17. ↑ Tatum J. Stellar Atmospheres. 11.6: Curve of Growth for Voigt Profiles (англ.). Physics LibreTexts (25 января 2017). Дата обращения: 4 сентября 2021. Архивировано 4 сентября 2021 года.
  18. ↑ Соболев, 1985, с. 137—138.
  19. ↑ Charlton J. C., Churchill C. W. Quasistellar Objects: Intervening Absorption Lines. 1.1. Basics of Quasar Spectra. ned.ipac.caltech.edu. Дата обращения: 4 сентября 2021. Архивировано 14 августа 2021 года.
  20. ↑ Tatum J. Stellar Atmospheres. 10.3: Microturbulence (англ.). Physics LibreTexts (25 января 2017). Дата обращения: 4 сентября 2021. Архивировано 4 сентября 2021 года.
  21. ↑ Wright K. O. Line Intensities and the Solar Curve of Growth (англ.) // The Astrophysical Journal. — Bristol: IOP Publishing, 1944. — 1 May (vol. 99). — P. 249. — ISSN 0004-637X. — doi:10.1086/144615.

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Кривая_роста_(спектроскопия)&oldid=18438176