Множество с отмеченной точкой

Множество с отмеченной точкой — множество [math]\displaystyle{ X }[/math] с выделенной точкой [math]\displaystyle{ x_0\in X }[/math]. Отображения между множествами с отмеченной точкой — это функции, которые переводят одну отмеченную точку в другую, то есть отображения [math]\displaystyle{ f : X \to Y }[/math], такие что [math]\displaystyle{ f(x_0) = y_0 }[/math], иногда используется такое обозначение:

[math]\displaystyle{ f : (X, x_0) \to (Y, y_0) }[/math].

Множества с отмеченной точкой можно определять как простую алгебраическую структуру. В терминах универсальной алгебры, это структуры с единственной нульарной операцией, которая выбирает отмеченную точку. Таким образом, алгебраические структуры с нульарными операциями являются множествами с отмеченной точкой, например, группа — множество с отмеченной точкой — нейтральным элементом, а гомоморфизмы групп сохраняют нейтральный элемент.

Класс множеств с отмеченной точкой и отображений, сохраняющих эту точку, образует категорию, в которой имеется нулевой объект — синглетон с выделенной точкой [math]\displaystyle{ (\{a\}, a) }[/math].

Литература

• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Grégory Berhuy. An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications (англ.). — Cambridge University Press, 2010. — Vol. 377. — P. 34. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-73866-0.