Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

Преобразования

[math]\displaystyle{ Q_i = Q_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t), }[/math]

[math]\displaystyle{ P_i = P_i (q_1, \ldots, q_s, p_1, \ldots, p_s, t), }[/math]

[math]\displaystyle{ j = 1, \ldots, s, }[/math], где [math]\displaystyle{ s }[/math] — число степеней свободы,

[math]\displaystyle{ \frac{\partial(Q_1, \ldots, Q_s; P_1, \ldots, P_s)}{\partial(q_1, \ldots, q_s; q_1, \ldots, q_s)} \neq 0, }[/math]

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона [math]\displaystyle{ H }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot q_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i}, }[/math]

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \dot P_i = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial Q_i}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot Q_i =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial P_i}. }[/math]

Переменные [math]\displaystyle{ Q_i }[/math] и [math]\displaystyle{ P_i }[/math] называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а [math]\displaystyle{ q_i }[/math] и [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{i=1}^s P_i dQ_i - \mathcal{H}dt - c \left( \sum\limits_{i=1}^s p_i dq_i - H dt \right) = - dF, }[/math]

где постоянную [math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math] называют валентностью канонического преобразования, [math]\displaystyle{ dF }[/math] — полный дифференциал некоторой функции [math]\displaystyle{ F(q_1,\ldots,q_s,p_1,\ldots, p_s,t) }[/math] (предполагается, что [math]\displaystyle{ P_i }[/math] и [math]\displaystyle{ Q_i }[/math] также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых [math]\displaystyle{ c = 1 }[/math] называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные [math]\displaystyle{ c }[/math] изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных [math]\displaystyle{ p_i, q_i, Q_i, P_i }[/math], причём выбор независим для каждого [math]\displaystyle{ i = 1, \cdots, s }[/math]. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого [math]\displaystyle{ i }[/math] одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции [math]\displaystyle{ F }[/math] имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты [math]\displaystyle{ F = F(q,p(q,Q,t),t) = F_1(q,Q,t) }[/math]. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции [math]\displaystyle{ F }[/math]. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех [math]\displaystyle{ i }[/math] возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

[math]\displaystyle{ F_1(q,Q,t), \; F_2(q,P,t), \; F_3(p,Q,t), \; F_4(p,P,t), }[/math]

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов [math]\displaystyle{ q = (q_1,\cdots, q_2) }[/math] [math]\displaystyle{ p = (p_1,\cdots, p_2) }[/math], , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

Пусть [math]\displaystyle{ F_1(q,Q,t) }[/math] — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

[math]\displaystyle{ \det \left( \frac{\partial^2 F_1}{\partial q \, \partial Q}\right) \ne 0, }[/math]

кроме того, задано некоторое число [math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math], тогда пара [math]\displaystyle{ (F_1, c) }[/math] задаёт каноническое преобразование по правилу

[math]\displaystyle{ p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_1}{\partial q}, }[/math]

[math]\displaystyle{ P = - \frac{\partial F_1}{\partial Q}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_1}{\partial t}. }[/math]

Связь с исходной производящей функцией:

[math]\displaystyle{ F_1(q,Q,t) = F(q,p(q,Q,t),t). }[/math]

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

[math]\displaystyle{ \det \left(\frac{\partial Q}{\partial p} \right) \neq 0. }[/math]

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа

Пусть [math]\displaystyle{ F_2(q,P,t) }[/math] — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

[math]\displaystyle{ \det \left(\frac{\partial^2 F_2}{\partial q \, \partial P}\right) \ne 0. }[/math]

кроме того, задано некоторое число [math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math], тогда пара [math]\displaystyle{ (F_2, c) }[/math] задаёт каноническое преобразование по правилу

[math]\displaystyle{ p = \frac{1}{c} \frac{\partial F_2}{\partial q}, }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = \frac{\partial F_2}{\partial P}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_2}{\partial t}. }[/math]

Связь с исходной производящей функцией:

[math]\displaystyle{ F_2(q,P,t) = F(q,p(q,P,t),t) + P Q(q,p(q,P,t),t). }[/math]

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

[math]\displaystyle{ \det \left(\frac{\partial P}{\partial p} \right) \neq 0. }[/math]

Производящая функция 3-го типа

Пусть [math]\displaystyle{ F_3(p,Q,t) }[/math] — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:

[math]\displaystyle{ \det \left(\frac{\partial^2 F_3}{\partial p \, \partial Q}\right) \ne 0. }[/math]

кроме того, задано некоторое число [math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math], тогда пара [math]\displaystyle{ (F_3, c) }[/math] задаёт каноническое преобразование по правилу

[math]\displaystyle{ q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_3}{\partial p}, }[/math]

[math]\displaystyle{ P = -\frac{\partial F_3}{\partial Q}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_3}{\partial t}. }[/math]

Связь с исходной производящей функцией:

[math]\displaystyle{ F_3(p,Q,t) = F(q(p,Q,t),p,t) - c p q(p,Q,t). }[/math]

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

[math]\displaystyle{ \det \left(\frac{\partial Q}{\partial q} \right) \neq 0. }[/math]

Производящая функция 4-го типа

Пусть [math]\displaystyle{ F_4(p,P,t) }[/math] — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

[math]\displaystyle{ \det \left(\frac{\partial^2 F_4}{\partial p \, \partial P}\right) \ne 0. }[/math]

кроме того, задано некоторое число [math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math], тогда пара [math]\displaystyle{ (F_4, c) }[/math] задаёт каноническое преобразование по правилу

[math]\displaystyle{ q = - \frac{1}{c} \frac{\partial F_4}{\partial p}, }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = \frac{\partial F_4}{\partial P}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{H} = c H + \frac{\partial F_4}{\partial t}. }[/math]

Связь с исходной производящей функцией:

[math]\displaystyle{ F_4(p,P,t) = F(q(p,P,t),p,t)+ P Q(q(p,P,t),p,t) - c p q(p,P,t). }[/math]

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

[math]\displaystyle{ \det \left(\frac{\partial P}{\partial q} \right) \neq 0. }[/math]

Примеры

1. Тождественное преобразование

[math]\displaystyle{ Q = q, }[/math]

[math]\displaystyle{ P = p, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{H} = H }[/math]

может быть получено при:

[math]\displaystyle{ F_2 = q P, \quad c=1. }[/math]

2. Если задать

[math]\displaystyle{ F_1 = - \beta q Q, \quad c=-\alpha \beta, }[/math]

то полученное преобразование будет иметь вид:

[math]\displaystyle{ Q = \alpha p, }[/math]

[math]\displaystyle{ P = \beta q. }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{H} = - \alpha \beta H }[/math]

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

[math]\displaystyle{ Q = -q, }[/math]

[math]\displaystyle{ P = -p, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{H} = H }[/math]

может быть получено при:

[math]\displaystyle{ F_2 = -q P, \quad c=1. }[/math]

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

[math]\displaystyle{ F_2 = \varphi(q,t) P, \quad c=1, }[/math]

тогда

[math]\displaystyle{ Q = \varphi(q,t). }[/math]

В частности, если

[math]\displaystyle{ F_2 = ( A q, P), \quad c=1, }[/math]

где [math]\displaystyle{ A, }[/math] — ортогональная матрица:

[math]\displaystyle{ A^T A = E, }[/math]

то

[math]\displaystyle{ Q = A q, }[/math]

[math]\displaystyle{ P = A^T p. }[/math]

К точечным преобразования приводит и функция:

[math]\displaystyle{ F_3 = \phi(Q,t) p, \quad c=1, }[/math]

тогда

[math]\displaystyle{ q = -\phi(Q,t). }[/math]

В частности функция

[math]\displaystyle{ F_3 = -p_x \rho \cos \varphi - p_y \rho \sin \phi - p_z z, \quad c=1, }[/math]

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных [math]\displaystyle{ (p,q) }[/math] системы с одной степенью свободы:

[math]\displaystyle{ Q = \alpha q + \beta p }[/math]

[math]\displaystyle{ P = \gamma q + \delta p }[/math]

является унивалентным каноническим преобразованием при

[math]\displaystyle{ \alpha \delta - \beta \gamma = 1, }[/math]

производящая функция:

[math]\displaystyle{ F = -\beta \gamma p q - \frac{1}{2} \alpha \gamma q^2 - \frac{1}{2} \beta \delta p^2. }[/math]

Такие преобразования образуют специальную линейную группу [math]\displaystyle{ SL(2,\mathbb R) }[/math].

Действие как производящая функция

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

[math]\displaystyle{ \mathcal{S} = \int p dq - H dt }[/math]

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

[math]\displaystyle{ \lbrace P_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace =0, }[/math]

[math]\displaystyle{ \lbrace Q_i (q,p,t), Q_k (q,p,t) \rbrace =0, }[/math]

[math]\displaystyle{ \lbrace Q_i (q,p,t), P_k (q,p,t) \rbrace = c \delta_{ik}. }[/math]

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций [math]\displaystyle{ f(Q,P,t) }[/math] и [math]\displaystyle{ g(Q,P,t) }[/math] условия:

[math]\displaystyle{ \lbrace f, g \rbrace_{p q} = c \lbrace f, g \rbrace_{P Q}, }[/math]

где под [math]\displaystyle{ \lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{p q} }[/math] и [math]\displaystyle{ \lbrace \cdot, \cdot \rbrace_{P Q} }[/math] понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

[math]\displaystyle{ \lbrace f, g \rbrace_{p q} =\lbrace f, g \rbrace_{P Q} }[/math]

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

[math]\displaystyle{ [ p_i, p_k] =0, }[/math]

[math]\displaystyle{ [q_i, q_k ]=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ [q_i, p_k]= c \delta_{ik}. }[/math]

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
• Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..