Изотермическая система координат

Изотермическая система координат поверхности евклидова пространства, малые координатные квадраты которой близки к квадратам.

Определение

Система координат на поверхности называется изотермической, если компоненты [math]\displaystyle{ E,F,G }[/math] первой квадратичной формы удовлетворяют соотношениям [math]\displaystyle{ E=G }[/math] и [math]\displaystyle{ F=0 }[/math].

Замечания

• Координатные линии изотермической системы координат образуют так называемую изотермическую сеть.

Примеры

• На поверхности вращения меридианы и параллели образуют изотермическую сеть
• Асимптотическая сеть на минимальной поверхности — изотермическая сеть

Свойства

• Изотермическая система координат задаёт конформное отображение на плоскость. То есть линейный элемент поверхности имеет вид:

  [math]\displaystyle{ ds^2=\rho(du^2+dv^2) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \rho }[/math] конформный фактор.

• Если гармоническая функция [math]\displaystyle{ u }[/math] на поверхности имеет ненулевой градиент [math]\displaystyle{ \nabla_pu\ne 0 }[/math] то в некоторой точке [math]\displaystyle{ p }[/math], функция [math]\displaystyle{ u }[/math] является координатой некоторой изотермической системы координат [math]\displaystyle{ (u,v) }[/math]. Вторая функция [math]\displaystyle{ v }[/math] называется сопряжённой к [math]\displaystyle{ u }[/math], она определена однозначно с точностью до сдвига и знака.

• Гауссова кривизна в изотермической системе координат выражается формулой

  [math]\displaystyle{ K = -\frac{1}{2} e^{-\varphi} \Delta \phi= -\frac{1}{2} e^{-\varphi} \left(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial v^2}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \rho = e^\varphi }[/math] конформный фактор.

Вариации и обобщения

• Изотермическая сеть — частный случай ромбической сети.

См. также

• Изотермическая поверхность