Коэффициент Пуассона
| коэффициент Пуассона | |
|---|---|
| Размерность | 1 |
| Единицы измерения | |
| СИ | безразмерная |
| СГС | безразмерная |
Коэффициент Пуассона (обозначается как [math]\displaystyle{ \nu }[/math], [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] или [math]\displaystyle{ \mu }[/math]) — упругая константа[1], величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец. Коэффициент Пуассона и модуль Юнга полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала[2]. Безразмерен, но может быть указан в относительных единицах: мм/мм, м/м.
Детальное определение
Приложим к однородному стержню растягивающие его силы. В результате воздействия таких сил стержень в общем случае окажется деформирован как в продольном, так и в поперечном направлениях.
Пусть [math]\displaystyle{ l }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] длина и поперечный размер образца до деформации, а [math]\displaystyle{ l^\prime }[/math] и [math]\displaystyle{ d^\prime }[/math] — длина и поперечный размер образца после деформации. Тогда продольным удлинением называют величину, равную [math]\displaystyle{ (l^\prime - l) }[/math], а поперечным сжатием — величину, равную [math]\displaystyle{ - (d^\prime - d) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ (l^\prime - l) }[/math] обозначить как [math]\displaystyle{ \Delta l }[/math], а [math]\displaystyle{ ( d^\prime - d) }[/math] как [math]\displaystyle{ \Delta d }[/math], то относительное продольное удлинение будет равно величине [math]\displaystyle{ \frac{\Delta l}{l} }[/math], а относительное поперечное сжатие — величине [math]\displaystyle{ - \frac{\Delta d}{d} }[/math]. Тогда в принятых обозначениях коэффициент Пуассона [math]\displaystyle{ \mu }[/math] имеет вид:[math]\displaystyle{ \mu = -\frac{\Delta d}{d} \frac {l} {\Delta l} }[/math]Обычно при приложении к стержню растягивающих усилий он удлиняется в продольном направлении и сокращается в поперечных направлениях. Таким образом, в подобных случаях выполнятся [math]\displaystyle{ \frac{\Delta l}{l} \gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{\Delta d}{d} \lt 0 }[/math], так что коэффициент Пуассона положителен. Как показывает опыт, при сжатии коэффициент Пуассона имеет то же значение, что и при растяжении.
Для абсолютно хрупких материалов коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно несжимаемых — 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он равен приблизительно 0,5[3]. Для большинства сплавов, металлов, горных пород значение коэффициента Пуассона лежит в пределах 0,25-0,35, в бетоне 0,16-0,18[1].
Связь с другими упругими константами
1) Через модуль сдвига [math]\displaystyle{ G }[/math] и модуль всестороннего сжатия [math]\displaystyle{ K }[/math][math]\displaystyle{ \sigma = \frac{1}{2}\frac{3K-2G}{3K+G} }[/math]2) Через отношение скоростей продольных и поперечных упругих волн волн[4]:
[math]\displaystyle{ \sigma = \frac {\gamma^2-2}{2(\gamma^2-1)} }[/math][math]\displaystyle{ \frac = \frac{V_P}{V_S} }[/math]
Ауксетики
Существуют также материалы (преимущественно полимеры), у которых коэффициент Пуассона отрицателен, такие материалы называют ауксетиками. Это значит, что при приложении растягивающего усилия поперечное сечение тела увеличивается.
К примеру, бумага из однослойных нанотрубок имеет положительный коэффициент Пуассона, а по мере увеличения доли многослойных нанотрубок наблюдается резкий переход к отрицательному значению −0,20.
Отрицательным коэффициентом Пуассона обладают многие анизотропные кристаллы[5], так как коэффициент Пуассона для таких материалов зависит от угла ориентации кристаллической структуры относительно оси растяжения. Отрицательный коэффициент обнаруживается у таких материалов, как литий (минимальное значение равно −0,54), натрий (−0,44), калий (−0,42), кальций (−0,27), медь (−0,13) и других. 67 % кубических кристаллов из таблицы Менделеева имеют отрицательный коэффициент Пуассона.
Значения коэффициента Пуассона
Грунты
Коэффициент Пуассона (коэффицент бокового расширения) для грунтов[6]:
| Грунты | Коэффициент поперечной
деформации ν |
|---|---|
| Крупнообломочные грунты |
|
| Пески и супеси |
|
| Суглинки |
|
| Глины при показателе текучести IL | |
|
|
| Примечание. Меньшие значения ν применяют при большей плотности грунта. | |
В бентонитовом растворе Коэффициент Пуассона≈0,5 т.к. в жидкости жесткости E там нет.
Изотропные материалы
| Материал | Коэффициент Пуассона μ |
|---|---|
| Бетон | 0,2 по СНиП, в расчётах возможно снижение до 0,15—0,17 |
| Алюминий | 0,34 |
| Вольфрам | 0,29 |
| Германий | 0,31 |
| Дюралюминий | 0,34 |
| Иридий | 0,26 |
| Кварцевое стекло | 0,17 |
| Константан | 0,33 |
| Латунь | 0,35 |
| Манганин | 0,33 |
| Медь | 0,35 |
| Органическое стекло | 0,35 |
| Полистирол | 0,35 |
| Свинец | 0,44 |
| Олово | 0,44 |
| Серебро | 0,37 |
| Серый чугун | 0,22 |
| Сталь | 0,25 |
| Стекло | 0,25 |
| Фарфор | 0,23 |
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Владимир Атапин, Александр Пель, Анатолий Темников. Сопротивление материалов. Базовый курс. Дополнительные главы. — Litres, 2021-03-16. — 507 с. — ISBN 978-5-04-112997-2. Архивная копия от 30 декабря 2021 на Wayback Machine
- ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит, 2005. — Т. I. Механика. — С. 414. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
- ↑ Владимир Черняк, Паригорий Суетин. Механика сплошных сред. — Litres, 2018-12-20. — 353 с. — ISBN 978-5-457-96786-1. Архивная копия от 30 декабря 2021 на Wayback Machine
- ↑ Виталий Щербинин, Анатолий Зацепин. Акустические измерения. Учебное пособие для вузов. — Litres, 2021-12-02. — 210 с. — ISBN 978-5-04-041588-5. Архивная копия от 30 декабря 2021 на Wayback Machine
- ↑ Гольдштейн Р. В., Городцов, В. А., Лисовенко Д. С. «Ауксетическая механика кристаллических материалов». Известия РАН, МТТ, 2010 г., № 4, С. 43—62.
- ↑ Таблица 5.10, СП 22.13330.2016 Основания зданий и сооружений.
См. также
| |
