Нотация Фойгта

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком Вольдемаром Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Обозначения

Если тензор 4-ранга [math]\displaystyle{ c_{ijkl} }[/math] обладает симметрией по первой и второй паре индексов:

[math]\displaystyle{ c_{ijkl}=c_{jikl} }[/math],

[math]\displaystyle{ c_{ijkl}=c_{ijlk} }[/math],

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

[math]\displaystyle{ 11 \rightarrow 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 22 \rightarrow 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 33 \rightarrow 3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 23, 32 \rightarrow 4 }[/math]

[math]\displaystyle{ 13, 31 \rightarrow 5 }[/math]

[math]\displaystyle{ 12, 21 \rightarrow 6 }[/math].

Например, компонента [math]\displaystyle{ c_{3122} }[/math] будет соответствовать элементу матрицы [math]\displaystyle{ C_{52} }[/math].

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Матричная запись закона Гука

Основная статья: Закон Гука

Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

[math]\displaystyle{ \sigma_{ij}=c_{ijkl} \varepsilon_{kl} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \sigma_{ij} }[/math] и [math]\displaystyle{ \varepsilon_{kl} }[/math] — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости [math]\displaystyle{ c_{ijkl} }[/math] обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения:

[math]\displaystyle{ c_{ijkl}=\frac{\partial^2 F}{\partial \varepsilon_{ij} \partial \varepsilon_{kl}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ F }[/math] — свободная энергия^{[уточнить]} в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует [math]\displaystyle{ c_{ijkl}=c_{klij} }[/math]. Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных. Поэтому матрица [math]\displaystyle{ C_{\alpha\beta} }[/math], составленная из компонент [math]\displaystyle{ c_{ijkl} }[/math], будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

[math]\displaystyle{ \sigma_\alpha = C_{\alpha\beta} \epsilon_\beta }[/math],

где индексы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] пробегают значения от 1 до 6, или:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & c_{1123} & c_{1113} & c_{1112} \\ \cdot & c_{2222} & c_{2233} & c_{2223} & c_{2213} & c_{2212} \\ \cdot & \cdot & c_{3333} & c_{3323} & c_{3313} & c_{3312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & c_{2323} & c_{2313} & c_{2312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c_{1313} & c_{1312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & c_{1212} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12}\end{pmatrix} }[/math]

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации [math]\displaystyle{ \varepsilon_{23} }[/math], [math]\displaystyle{ \varepsilon_{13} }[/math], [math]\displaystyle{ \varepsilon_{12} }[/math] необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты [math]\displaystyle{ \sigma_{11} }[/math] входит слагаемое [math]\displaystyle{ c_{1123} \varepsilon_{23} + c_{1132} \varepsilon_{32} }[/math], которое в матричной записи соответствует слагаемому [math]\displaystyle{ c_{1123} 2\varepsilon_{23} }[/math].

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости [math]\displaystyle{ s_{ijkl} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \varepsilon_{ij}=s_{ijkl} \sigma_{kl} }[/math]

Тензор [math]\displaystyle{ s_{ijkl} }[/math] характеризуется той же степенью симметрии, что и [math]\displaystyle{ c_{ijkl} }[/math]. Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице [math]\displaystyle{ C_{\alpha\beta} }[/math].

Обратное матричное уравнение [math]\displaystyle{ \epsilon_\alpha = S_{\alpha\beta} \sigma_\beta }[/math], где [math]\displaystyle{ S = C^{-1} }[/math], выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s_{1111} & s_{1122} & s_{1133} & 2s_{1123} & 2s_{1113} & 2s_{1112} \\ \cdot & s_{2222} & s_{2233} & 2s_{2223} & 2s_{2213} & 2s_{2212} \\ \cdot & \cdot & s_{3333} & 2s_{3323} & 2s_{3313} & 2s_{3312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{2323} & 4s_{2313} & 4s_{2312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{1313} & 4s_{1312} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 4s_{1212} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12}\end{pmatrix} }[/math]

Преобразование поворота

При переходе от декартовой системы координат [math]\displaystyle{ x_1,x_2,x_3 }[/math] к декартовой системе координат [math]\displaystyle{ x_1^\prime,x_2^\prime,x_3^\prime }[/math] путём поворота, компоненты тензора упругих постоянных преобразуются по следующей формуле в соответствии с преобразованием тензора четвёртого ранга:

[math]\displaystyle{ C'_{ijkl}=n_{i\alpha}n_{j\beta}n_{k\gamma}n_{l\delta}C_{\alpha\beta\gamma\delta} }[/math]

Примеры

Тензор упругости изотропного материала: упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Ламэ [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu }[/math]):

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} \lambda+2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda+2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda+2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \\ \end{pmatrix} }[/math]

Тензор упругости материала с гексагональной симметрией: тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае [math]\displaystyle{ x_3 }[/math]), при повороте вокруг которой свойства не меняются; описывается 5 независимыми упругими постоянными:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} c_{1111} & c_{1122} & c_{1133} & 0 & 0 & 0 \\ c_{1122} & c_{1111} & c_{1133} & 0 & 0 & 0 \\ c_{1133} & c_{1133} & c_{3333} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c_{2323} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c_{2323} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}(c_{1111}-c_{1122}) \\ \end{pmatrix} }[/math].

Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор [math]\displaystyle{ I }[/math]:

[math]\displaystyle{ I_{ijkl}=\frac{1}{2}(\delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk}) }[/math]

Литература

• М. А. Акивис, В. В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 352 с.
• В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М.: Мир, 1975. — 871 с.
• Т. Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: Наука, 1977. — 399 с.