Жорданова матрица

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math], с блоками вида

[math]\displaystyle{ J_\lambda=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\\end{pmatrix}. }[/math]

Каждый блок [math]\displaystyle{ J_\lambda }[/math] называется жордановой клеткой с собственным значением [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] (собственные значения в различных блоках, вообще говоря, могут совпадать).

Согласно теореме о жордановой нормальной форме, для произвольной квадратной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] над алгебраически замкнутым полем [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] (например, полем комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb K = \mathbb C }[/math]) существует квадратная невырожденная (то есть обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица [math]\displaystyle{ C }[/math] над [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math], такая, что

[math]\displaystyle{ J=C^{-1}A\,C }[/math]

является жордановой матрицей. При этом [math]\displaystyle{ J }[/math] называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. В этом случае также говорят, что жорданова матрица [math]\displaystyle{ J }[/math] в поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] подобна (или сопряжена) данной матрице [math]\displaystyle{ A }[/math]. И наоборот, в силу эквивалентного соотношения

[math]\displaystyle{ A=CJC^{-1} }[/math]

матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] подобна в поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] матрице [math]\displaystyle{ J }[/math]. Нетрудно показать, что введённое таким образом отношение подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности. Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Свойства

• Количество жордановых клеток порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] с собственным значением [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] в жордановой форме матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] можно вычислить по формуле

  [math]\displaystyle{ c_n(\lambda)= \operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1} -2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n} +\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичная матрица того же порядка что и [math]\displaystyle{ A }[/math], символ [math]\displaystyle{ \operatorname{rank} }[/math] обозначает ранг матрицы, а [math]\displaystyle{ \operatorname{rank} (A-\lambda I)^0 }[/math], по определению, равен порядку [math]\displaystyle{ A }[/math]. Вышеприведённая формула следует из равенства

[math]\displaystyle{ \operatorname{rank}(A-\lambda I) = \operatorname{rank}(J-\lambda I). }[/math]

• В случае если поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] была подобна над [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] содержало все корни характеристического многочлена матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].
• У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.
• Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.
• Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

История

Одним из первых такую форму матрицы рассматривал Жордан.

Вариации и обобщения

• Над полем вещественных чисел собственные значения матрицы (то есть корни характеристического многочлена) могут быть как вещественными, так и комплексными, причем комплексные собственные значения, если они есть, присутствуют парами вместе со своими комплексно сопряжёнными: [math]\displaystyle{ \lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — вещественные числа, [math]\displaystyle{ \beta \neq 0 }[/math]. В вещественном пространстве такой паре комплексных собственных значений отвечает блок [math]\displaystyle{ J_{\lambda_{1,2}} }[/math], и к указанному выше виду жордановых матриц добавляются матрицы, содержащие также блоки вида [math]\displaystyle{ J_{\lambda_{1,2}} }[/math], отвечающие парам комплексных собственных значений:

[math]\displaystyle{ J_{\lambda_{1,2}}= \left( \begin{array}{ccccccccccc} \alpha & \beta & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ -\beta & \alpha & 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \alpha & \beta & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -\beta & \alpha & 0 & 1 & \ddots & 0 & 0 & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & \alpha & \beta & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\beta & \alpha & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \alpha & \beta\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -\beta & \alpha\\ \end{array}\right). }[/math]

• Теорема о жордановой нормальной форме является частным случаем теоремы о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. Действительно, классификация матриц соответствует классификации линейных операторов, а векторные пространства над полем [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] с фиксированным линейным оператором биективно соответствуют модулям над кольцом многочленов [math]\displaystyle{ \mathbb K [x] }[/math] (умножение вектора на [math]\displaystyle{ x }[/math] задаётся как применение линейного оператора).

• Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы (например, фробениусова нормальная форма). К их рассмотрению прибегают, в частности, когда основное поле не содержит всех корней характеристического многочлена данной матрицы.

См. также

• Каноническая форма Вейра

Литература

• Халмош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson). Матричный анализ. — М.: Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Ким, Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
• В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников. Жорданова форма матрицы оператора
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.